1 . [理解探究]
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况,即三个等角角度为,于是有三组边相互垂直,所以称为“一线三垂直模型”,当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定存在全等三角形,
(1)[问题解决]
如图1,在等腰直角中,,,过点C作直线,于D,于E,求证∶
(2)[问题探究]
如图2,在等腰直角中,,,过点C作直线,于D,于E,,,求的长
(3)[拓展延伸]
如图3,在等腰直角中,,,且在平面直角坐标系中,点C在y轴正半轴上,点A坐标为,点B是第一、第三象限的角平分线上的一个点,求点C的坐标
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况,即三个等角角度为,于是有三组边相互垂直,所以称为“一线三垂直模型”,当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定存在全等三角形,
(1)[问题解决]
如图1,在等腰直角中,,,过点C作直线,于D,于E,求证∶
(2)[问题探究]
如图2,在等腰直角中,,,过点C作直线,于D,于E,,,求的长
(3)[拓展延伸]
如图3,在等腰直角中,,,且在平面直角坐标系中,点C在y轴正半轴上,点A坐标为,点B是第一、第三象限的角平分线上的一个点,求点C的坐标
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2024-01-19更新
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107次组卷
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2卷引用:云南省昆明市西山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
2 . 【问题解决】
已知中,三点都在直线1上,且有.如图①,当时,线段的数量关系为:
【类比探究】
(1)如图②,在(1)的条件下,当时,线段的数量关系是'否变化,若不变,请证明:若变化,写出它们的关系式;
【拓展应用】
(2)如图③,,点的坐标为,点的坐标为,请求出点的坐标.
已知中,三点都在直线1上,且有.如图①,当时,线段的数量关系为:
【类比探究】
(1)如图②,在(1)的条件下,当时,线段的数量关系是'否变化,若不变,请证明:若变化,写出它们的关系式;
【拓展应用】
(2)如图③,,点的坐标为,点的坐标为,请求出点的坐标.
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3 . 我们知道在解与角平分线有关的问题时,通常过角平分线上的一点作角两边的垂线,构造全等三角形,请完成下列问题.
【初步探究】(1)如图 1, , 平分, 点 C 是射线 上一点,, 且与, 分别交于点 D, B, 求证:.
【类比探究】(2)如图2,其他条件不变,将图1的绕点C逆时针旋转使点 D落在的反向延长线上. 请探究线段,和之间的数量关系,写出结论并证明.
【拓展应用】(3)如图3,其他条件不变,将图1的绕点C顺时针旋转使点 B落在的反向延长线上. 请直接写出线段,和之间的数量关系. (不用证明)
【初步探究】(1)如图 1, , 平分, 点 C 是射线 上一点,, 且与, 分别交于点 D, B, 求证:.
【类比探究】(2)如图2,其他条件不变,将图1的绕点C逆时针旋转使点 D落在的反向延长线上. 请探究线段,和之间的数量关系,写出结论并证明.
【拓展应用】(3)如图3,其他条件不变,将图1的绕点C顺时针旋转使点 B落在的反向延长线上. 请直接写出线段,和之间的数量关系. (不用证明)
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名校
4 . 矩形中,、交于点O,(k为常数).作,、分别与、边相交于点E、F,连接,
(1)发现问题:如图1,若,猜想:______;
(2)类比探究:如图2,,探究线段,之间的数量关系,并说明理由;
(3)拓展运用:如图3,在(2)的条件下,若,,,求的长.
(1)发现问题:如图1,若,猜想:______;
(2)类比探究:如图2,,探究线段,之间的数量关系,并说明理由;
(3)拓展运用:如图3,在(2)的条件下,若,,,求的长.
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2022-04-18更新
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334次组卷
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3卷引用:2022年云南省昆明市官渡区初中学业水平考试第一次模拟测试数学试题
名校
5 . 数学活动:探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题.
利用角平分线构造“全等模型”解决问题,事半功倍.
(1)尺规作图:如图,用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图,则说明的依据是三角形全等的判定_________.
(2)方法一:巧翻折,造全等
如图①,在中,,是的角平分线,则________.(填“、“或“)
方法二:构距离,造全等
如图②,在四边形中,,和的平分线,交于点.
若,则点到的距离是_________.
过点作,垂足为点.
则.
【模型应用】
(3)如图③,在中,,,是的两条角平分线,且,交于点.试猜想与之间的数量关系,并说明理由.
利用角平分线构造“全等模型”解决问题,事半功倍.
(1)尺规作图:如图,用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图,则说明的依据是三角形全等的判定_________.
VSDX
【模型构造】(2)方法一:巧翻折,造全等
如图①,在中,,是的角平分线,则________.(填“、“或“)
VSDX
在上截取,连接,则.方法二:构距离,造全等
如图②,在四边形中,,和的平分线,交于点.
若,则点到的距离是_________.
过点作,垂足为点.
则.
【模型应用】
(3)如图③,在中,,,是的两条角平分线,且,交于点.试猜想与之间的数量关系,并说明理由.
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2023-11-03更新
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169次组卷
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2卷引用:云南省昆明市昆明市第十二中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题
解答题-证明题
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适中(0.65)
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6 . 建立模型:(1)如图1,已知在中,,,顶点C在直线l上.过点A作于点D,过点B作于点F.求证:.
(2)模型应用:(问题解决)
如图2,在平面直角坐标系中,直线与x轴、y轴分别交于点A、点B,以为腰在第二象限作等腰直角三角形,.
a:点A、B的坐标分别为A______,B______;
b:求点C坐标.
小明同学为了解决这个问题,提出了以下想法:过点C向x轴作垂线交x轴于点D.请你借助小明的思路,求出点C的坐标.
(3)类比探究:
数学老师表扬了小明同学的方法,然后提出了一个新的问题:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标,点B坐标为,过点B作x轴的垂线l,点P是直线l上一个动点,点D是直线上的一个动点,若是以点D为直角顶点为等腰直角三角形,请直接写出点D与点P的坐标.
(2)模型应用:(问题解决)
如图2,在平面直角坐标系中,直线与x轴、y轴分别交于点A、点B,以为腰在第二象限作等腰直角三角形,.
a:点A、B的坐标分别为A______,B______;
b:求点C坐标.
小明同学为了解决这个问题,提出了以下想法:过点C向x轴作垂线交x轴于点D.请你借助小明的思路,求出点C的坐标.
(3)类比探究:
数学老师表扬了小明同学的方法,然后提出了一个新的问题:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标,点B坐标为,过点B作x轴的垂线l,点P是直线l上一个动点,点D是直线上的一个动点,若是以点D为直角顶点为等腰直角三角形,请直接写出点D与点P的坐标.
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2023-03-21更新
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512次组卷
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4卷引用:云南省昆明市盘龙区黄冈中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题
云南省昆明市盘龙区黄冈中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题山西省运城市盐湖区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题(已下线)专题19.42 一次函数题型分类专题(动点问题)(巩固篇)(专项练习)-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)(已下线)专题19.52 一次函数(全章复习与巩固)(巩固篇)(专项练习)-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
7 . 如图1,点是正方形的边上的动点(点不与点,重合),连接,于点,于点.
(1)求证::
(2)如图2,在上取点,使得,作的角平分线交的延长线于点,直接写出的值;
(3)如图2,在(2)的条件下,连接.当点运动时,试探究的值是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.
(1)求证::
(2)如图2,在上取点,使得,作的角平分线交的延长线于点,直接写出的值;
(3)如图2,在(2)的条件下,连接.当点运动时,试探究的值是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.
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名校
8 . 探究:如图①,在中,,,直线l经过点C,且点A、B在直线的同侧,过点A、B分别作直线l的垂线,垂足分别为点D、E.求证:.
应用.如图②,在中,,,直线l经过点C,且点A、B在直线l的异侧,过点A、B分别作直线l的垂线,垂足分别为点D、E.探索线段AD、BE、DE之间的数量关系,并证明.
应用.如图②,在中,,,直线l经过点C,且点A、B在直线l的异侧,过点A、B分别作直线l的垂线,垂足分别为点D、E.探索线段AD、BE、DE之间的数量关系,并证明.
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2020-12-26更新
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209次组卷
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5卷引用:云南省昆明市官渡区外国语学校2020-2021学年八年级上学期12月月考数学试题
云南省昆明市官渡区外国语学校2020-2021学年八年级上学期12月月考数学试题【校级联考】吉林省长春市农安县2017-2018学年八年级上学期期末考试数学试题吉林省长春市农安县2019-2020学年八年级上学期期末数学试题(已下线)专题1.59 《三角形的初步知识》全章复习与巩固(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练(浙教版) 福建省南平市顺昌县2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题