1 . 综合与实践：
中，
是边
上一点，
于点
，
，
，
，求证：四边形为正方形；
【实践探究】（2）小宇受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，是边上一点，于点，
于点
，交
于点
，请探究线段
，，
之间的数量关系并说明理由；
【拓展迁移】（3）小阳深入研究小宇提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，是边上一点，于点，点
在
上，且
，连接
，
，请探究线段与
的数量关系并说明理由．
中，是边上一点，于点，，，，求证：四边形为正方形；【实践探究】（2）小宇受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形
中，是边上一点，于点，于点，交于点，请探究线段，，之间的数量关系并说明理由；【拓展迁移】（3）小阳深入研究小宇提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形
中，是边上一点，于点，点在上，且，连接，，请探究线段与的数量关系并说明理由．
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2 . 【问题发现】
中，
点P为底边
上一动点，在射线
上取点D，作
，垂足为E．若
．则
与
的数量关系为_______；
【类比探究】
（2）如图2所示，在等腰中，
，点P为底边BC上一动点，在射线
上取点D，作，垂足为E．若
，且
．请探究与的数量关系；
【拓展应用】
（3）在（2）的前提下，若
，点P为线段
的三等分点，请直接写出
的长．
中，点P为底边上一动点，在射线上取点D，作，垂足为E．若．则与的数量关系为_______；【类比探究】
（2）如图2所示，在等腰
中，，点P为底边BC上一动点，在射线上取点D，作，垂足为E．若，且．请探究与的数量关系；【拓展应用】
（3）在（2）的前提下，若
，点P为线段的三等分点，请直接写出的长．
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3 . 已知点O是线段的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．
(1)【问题呈现】
如图1，当点P与点O重合时，请你猜想，验证后直接写出
和
的数量关系是_______；
(2)【类比探究】
如图2，当点P是线段上的任意一点时，和的数量关系是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)【拓展提升】
如图3，①当点P是线段
延长线上的任意一点时，和的数量关系是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②若
，请直接写出线段
之间的数量关系．
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4 . 综合与实践
【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形中，E是对角线
上一动点，过点D作
的垂线，过点C作的垂线，两垂线相交于点F，作射线
，分别交边，
于点G，H．试探究线段
与的数量关系．
小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下．
【观察猜想】
小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究．
（1）如图1，若E是对角线的中点，则线段与的数量关系为______．
【推理验证】
（2）小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图2的情形判断他的说法是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）已知正方形的边长为3，以点E为线段的三等分点时，请直接写出线段
的长．
【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形
中，E是对角线上一动点，过点D作的垂线，过点C作的垂线，两垂线相交于点F，作射线，分别交边，于点G，H．试探究线段与的数量关系．小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下．
【观察猜想】
小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究．
（1）如图1，若E是对角线
的中点，则线段与的数量关系为______．【推理验证】
（2）小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图2的情形判断他的说法是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）已知正方形
的边长为3，以点E为线段的三等分点时，请直接写出线段的长． 
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名校
5 . 数学课上，老师出示了如下框中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
【猜想结论】
（1）当点为的中点时，如图1，确定线段
与
的大小关系，请你直接写出结论：
（填“
”，“
”或“
”）．
【类比探究】
（2）如图1，当点E为边上任意一点时，小敏和小聪认为（1）中的结论仍然成立．老师肯定了这种做法，请你帮助小敏和小聪完成证明过程．
【拓展应用】
（3）在等边三角形
中，点在直线上，点
在直线上，且
．若等边三角形的边长为2，
，求的长（请自己画图，并完成解答）．
如图1，在等边三角形中，点在上，点在 的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由． |
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
【猜想结论】
（1）当点
为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：（填“”，“”或“”）．【类比探究】
（2）如图1，当点E为
边上任意一点时，小敏和小聪认为（1）中的结论仍然成立．老师肯定了这种做法，请你帮助小敏和小聪完成证明过程．【拓展应用】
（3）在等边三角形
中，点在直线上，点在直线上，且．若等边三角形的边长为2，，求的长（请自己画图，并完成解答）．
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6 . 【问题探究】
如图，在中，
，，直线m经过点A，
于点D，
于点E，试说明：
．
如图，在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有
，试探究线段
三者之间的数量关系，并说明理由．
如图，在
中，，，直线m经过点A，于点D，于点E，试说明：．
如图，在
中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，试探究线段三者之间的数量关系，并说明理由．
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2024-01-16更新
|
75次组卷
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2卷引用：山东省烟台市北部（五四制）2023-2024学年七年级上学期期中考试数学试题
7 . （1）理解证明：如图1，
，射线AE在这个角的内部，点B，C在
的边AM，AN上，且，
于点F，
于点D．求证：
；
（2）类比探究：如图2，点B，C在的边AM，AN上，点E，F在内部的射线AD上，
，
分别是
，
的外角．已知，
．求证：
；
（3）拓展应用：如图3，在中，，
，点D在边BC上，
，点E，F在线段AD上，．若的面积为21，求与
的面积之和．
，射线AE在这个角的内部，点B，C在的边AM，AN上，且，于点F，于点D．求证：；（2）类比探究：如图2，点B，C在
的边AM，AN上，点E，F在内部的射线AD上，，分别是，的外角．已知，．求证：；（3）拓展应用：如图3，在
中，，，点D在边BC上，，点E，F在线段AD上，．若的面积为21，求与的面积之和．
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8 . 发现问题：如图1所示，已知直角梯形
中，A是上一点，
，
，
，且
，
，试说明直角三角形的三边a、b、c之间的数量关系：
初步探究：（1）试说明：
；
问题解决：（2）请用两种含有a，b，c的代数式的方法表示直角梯形的面积：
______．
______．
由此，你能得到的a、b、c的数量关系是：____________．
【拓展应用】（3）如图2，等腰三角形中，D是底边上的中点，
，
，E、F分别是线段
和上的两个动点，求：
的最小值．
中，A是上一点，，，，且，，试说明直角三角形的三边a、b、c之间的数量关系：初步探究：（1）试说明：
；问题解决：（2）请用两种含有a，b，c的代数式的方法表示直角梯形
的面积：______．______．由此，你能得到的a、b、c的数量关系是：____________．
【拓展应用】（3）如图2，等腰三角形
中，D是底边上的中点，，，E、F分别是线段和上的两个动点，求：的最小值．图1 图2
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9 . （1）尝试探究：如图①，在等腰直角中，，
是过点A的一条直线，且B、C在的同侧，
于点D，
于点E，则图中与线段相等的线段是______；
（2）类比延伸：如图②，已知等腰直角，
，点A、B的坐标分别是
、
，求点C的坐标；
（3）拓展迁移：在（2）的条件下，在第一象限内是否存在一点P，使
与全等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
中，，是过点A的一条直线，且B、C在的同侧，于点D，于点E，则图中与线段相等的线段是______；（2）类比延伸：如图②，已知等腰直角
，，点A、B的坐标分别是、，求点C的坐标；（3）拓展迁移：在（2）的条件下，在第一象限内是否存在一点P，使
与全等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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10 . 【方法探究】如图1，在中，平分
，
，探究，，
之间的数量关系；
嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法1：如图2，在上截取，使得
，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题．
方法2：如图3，延长到点，使得
，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题．
（1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系；
【迁移应用】
（2）如图4，在中，D是上一点，，
，
于，探究，，之间的数量关系，并证明．
【拓展延伸】
（3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边
，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若
，求证：
．
中，平分，，探究，，之间的数量关系；嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法1：如图2，在
上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题．方法2：如图3，延长
到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题．（1）根据探究，直接写出
，，之间的数量关系；【迁移应用】
（2）如图4，在
中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明．【拓展延伸】
（3）如图5，
为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：．
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