1 . 数学课上，老师出示了如下框中的题目．

如图1，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
【猜想结论】
（1）当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：（填“”，“”或“”）．
【类比探究】
（2）如图1，当点E为边上任意一点时，小敏和小聪认为（1）中的结论仍然成立．老师肯定了这种做法，请你帮助小敏和小聪完成证明过程．
【拓展应用】
（3）在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若等边三角形的边长为2，，求的长（请自己画图，并完成解答）．

2 . （1）理解证明：如图1，，射线AE在这个角的内部，点B，C在的边AM，AN上，且，于点F，于点D．求证：；
（2）类比探究：如图2，点B，C在的边AM，AN上，点E，F在内部的射线AD上，，分别是，的外角．已知，．求证：；
（3）拓展应用：如图3，在中，，，点D在边BC上，，点E，F在线段AD上，．若的面积为21，求与的面积之和．
   

3 . 发现问题：如图1所示，已知直角梯形中，A是上一点，，，，且，，试说明直角三角形的三边a、b、c之间的数量关系：
初步探究：（1）试说明：；
问题解决：（2）请用两种含有a，b，c的代数式的方法表示直角梯形的面积：
______．
______．
由此，你能得到的a、b、c的数量关系是：____________．
【拓展应用】（3）如图2，等腰三角形中，D是底边上的中点，，，E、F分别是线段和上的两个动点，求：的最小值．

图1                                                               图2

4 . （1）尝试探究：如图①，在等腰直角中，，是过点A的一条直线，且B、C在的同侧，于点D，于点E，则图中与线段相等的线段是______；
（2）类比延伸：如图②，已知等腰直角，，点A、B的坐标分别是、，求点C的坐标；
（3）拓展迁移：在（2）的条件下，在第一象限内是否存在一点P，使与全等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5 . （1）教材呈现：
人教版数学教材八年级上册第56页有这样一道习题：“如图1，，，，，垂足分别为，，，，求的长．”请直接写出此题的答案：的长为       ；

（2）类比探究：
如图，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角，已知：，．求证：；
（3）拓展应用：
如图，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为       ．

7 . 综合与实践：

【问题情境】已知是的平分线，P是射线上的一点，点D，E分别在射线，上，连接，．
【初步探究】（1）如图1，当，时，与的数量关系是______；
【深入探究】（2）如图2，若，（1）中与的数量关系还成立吗？请说明理由；
【拓展应用】（3）如图3，中，平分交于点D，若，，，求的面积．

8 . 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“角的变化与全等三角形”为主题开展数学探究活动．

(1)操作判断
如图1，已知．
操作一：以直角顶点为圆心，适当长为半径画弧，与的两边分别交于点，．
操作二：在的内部任意画射线，过点作于点，过点作于点．请用直尺和三角板按操作二将图1补充完整，并直接写出与的数量关系：________．
(2)类比探究
将由直角换成锐角，继续探究，过程如下：
按（1）中操作一的方式操作，如图2，点，分别在的边，上，点，都在内部的射线上， ，分别是，的外角，且满足．请判断（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
(3)拓展应用
最后，老师根据课堂探究的内容编制了一道数学题，请你解答．
如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上， ，若的面积为，请直接写出和面积的和．

9 . 如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连接，．
【基础巩固】
（1）求证：在沿直线平移过程中，四边形是平行四边形；
【操作思考】
（2）如图2，已知，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长；
【拓展探究】
（3）如图3，连接，若四边形为菱形，且，求的度数．

   

10 . 在中，点D在直线上，点E在平面内，点F在的延长线上，，，．
   
【问题解决】
（1）如图1，若点D在边的延长线上，求证：；
【类比探究】
（2）如图2，若点D在线段上，请探究线段、与之间存在怎样的数量关系，并证明；
【拓展延伸】
（3）如图3若点D在线段的延长线上，请探究线段、与之间的数量关系，并证明．