名校
1 . 阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为
，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
(1)问题解决：如图1，在等腰直角
中，
，
，过点C作直线
，
于D，
于E，求证：
；
(2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线
，
于D，
于E，
，求
的长；
(3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，
，为等腰直角三角形，，，求B点坐标．
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为
，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．(1)问题解决：如图1，在等腰直角
中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：；(2)问题探究：如图2，在等腰直角
中，，，过点C作直线，于D，于E，，求的长；(3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，
，为等腰直角三角形，，，求B点坐标．
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2023-04-07更新
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296次组卷
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3卷引用：江苏省盐城市滨海县第一初级中学教育集团2022-2023学年八年级上学期第二次练习数学试题
2 . 如图，在中，
，
，直线
经过点C，且
于点D，
于点
．
探究发现：
如图1，
与
是否全等？若全等加以证明，若不全等，请说明理由．
拓展应用：
（1）如图1，
有怎样的数量关系？并加以证明．
（2）当直线绕点
旋转到图2的位置时，又怎样的数量关系？（直接写出结论即可）．
中，，，直线经过点C，且于点D，于点．探究发现：
如图1，
与是否全等？若全等加以证明，若不全等，请说明理由．拓展应用：
（1）如图1，
有怎样的数量关系？并加以证明．（2）当直线
绕点旋转到图2的位置时，又怎样的数量关系？（直接写出结论即可）．
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3 . 提出问题：如图1，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若∠ODC＝∠OEC＝90°，求证：CD＝CE．
思路梳理：
(1)请根据思路梳理的过程填空．
证法1：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC，OC＝OC，可得 ≌ ，则CD＝CE．
证法2：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC＝90°，则CD＝CE，其理论依据是 ．
类比探究：
(2)如图2，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若∠ODC＋∠OEC＝180°，求证：CD＝CE．
拓展迁移：
(3)如图3，已知OC平分∠AOB，点D在OA的反向延长线上，点E在OB上，且∠ODC＝∠OEC，若OC＝4，CE＝5，点C到OB的距离是3，则OD＋OE的值是 ．（直接写出结果，不说明理由）
思路梳理：
(1)请根据思路梳理的过程填空．
证法1：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC，OC＝OC，可得 ≌ ，则CD＝CE．
证法2：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC＝90°，则CD＝CE，其理论依据是 ．
类比探究：
(2)如图2，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若∠ODC＋∠OEC＝180°，求证：CD＝CE．
拓展迁移：
(3)如图3，已知OC平分∠AOB，点D在OA的反向延长线上，点E在OB上，且∠ODC＝∠OEC，若OC＝4，CE＝5，点C到OB的距离是3，则OD＋OE的值是 ．（直接写出结果，不说明理由）
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2022-07-19更新
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193次组卷
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3卷引用：河南省南阳市方城县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
河南省南阳市方城县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题吉林省四平市公主岭市第四中学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（已下线）专题3.2 旋转中的重要模型 专题讲练-2022-2023学年八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（北师大版）
4 . 【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分
．点A为OM上一点，过点A作
，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据ASA证明
，则
，（即点C为AB的中点）．
【问题探究】
如图2，中，
，
，CD平分
，
，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论：
【拓展延伸】
如图3，中，，，点D在线段BC上，且
，
于E，DE交AB于F，试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论．
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分
．点A为OM上一点，过点A作，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据ASA证明，则，（即点C为AB的中点）．【问题探究】
如图2，
中，，，CD平分，，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论：【拓展延伸】
如图3，
中，，，点D在线段BC上，且，于E，DE交AB于F，试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论．
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2022-07-11更新
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226次组卷
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4卷引用：内蒙古自治区鄂尔多斯市准格尔旗2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
内蒙古自治区鄂尔多斯市准格尔旗2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（已下线）专题1.60 《三角形的初步知识》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）河南省漯河市临颍县2022-2023学年八年级上学期期中数学试题河南省周口市扶沟县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题
5 . 在拓展课上，小林用圆规以点
为圆心，
长为半径画弧
，使得
，第二次同样按逆时针画圆弧到
点，设
，显然
，连接
．
(1)如图
，连接
．
①若
，直接写出
的度数；
②在第二次画圆弧过程中，请探究的大小是否改变？若不改变，求出的度数；若改变，请说明理由；
(2)如图
，若以为斜边作
，使得
，连接，，若
，试判断
的形状，并说明理由．
为圆心，长为半径画弧，使得，第二次同样按逆时针画圆弧到点，设，显然，连接．(1)如图
，连接． ①若
，直接写出的度数；②在第二次画圆弧过程中，请探究
的大小是否改变？若不改变，求出的度数；若改变，请说明理由；(2)如图
，若以为斜边作，使得，连接，，若，试判断的形状，并说明理由．
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6 . （1）证明推断
如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，过点E作AE，BD的垂线，分别交直线BC于点F，G．
①求证：
；②推断：
的值为______；
（2）类比探究
如图2，在矩形ABCD中，
，点E是对角线BD上一点，过点E作AE，BD的垂线，分别交直线BC于点F，G．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；
（3）拓展运用
在（2）的条件下，连接CE，当
，
时，若
，求EF的长．
如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，过点E作AE，BD的垂线，分别交直线BC于点F，G．
①求证：
；②推断：的值为______；（2）类比探究
如图2，在矩形ABCD中，
，点E是对角线BD上一点，过点E作AE，BD的垂线，分别交直线BC于点F，G．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；（3）拓展运用
在（2）的条件下，连接CE，当
，时，若，求EF的长．
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2022-04-07更新
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448次组卷
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5卷引用：2022年湖北省襄阳市初中毕业生“新中考”文化课模拟（一模）数学试题
2022年湖北省襄阳市初中毕业生“新中考”文化课模拟（一模）数学试题（已下线）押四川卷26题 三角形、四边形综合探究-备战2022年中考数学临考题号押题（四川专用）2022年广东省广州市从化区九年级中考数学二模试卷2022年广东省广州市南沙区九年级数学二模试卷（已下线）2023年湖北省中考数学真题变式题21-24题
7 . 问题情境：
（1）如图1，在中，，
于点D，则
与
之间的数量关系是______．
特例探究：
（2）如图2，
，射线
在的内部，点A，B分别在
，
上，且
，过点A，B分别作
于点C，
于点D，试探究
，与之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：
（3）如图3，射线在的内部，点A，B分别在，上，且，点C，D在射线上，连结，，且
．若
，
，请直接写出的长．
（1）如图1，在
中，，于点D，则与之间的数量关系是______．特例探究：
（2）如图2，
，射线在的内部，点A，B分别在，上，且，过点A，B分别作于点C，于点D，试探究，与之间的数量关系，并说明理由．拓展应用：
（3）如图3，射线
在的内部，点A，B分别在，上，且，点C，D在射线上，连结，，且．若，，请直接写出的长．
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22-23九年级上·吉林长春·期末
8 . 已知，在
ABC中，AB＝AC，在射线CA上截取线段CE，连接DE．
(1)猜想：当点D在边AB的延长线上，点E在边AC上时，过点E作EF
AB交BC于点F，若BD＝CE，则线段DM、EM的大小关系为 ．
(2)探究：当点D在边AB的延长线上，点E在边CA的延长线上时，如图②．若BD＝CE，线段DM、EM的大小关系，并加以证明．
(3)拓展：当点D在边AB上（点D不与A、B重合），点E在边CA的延长线上时，如图③．若BD＝2，CE=8，DM＝1.4．则ED的长为 ．
ABC中，AB＝AC，在射线CA上截取线段CE，连接DE．(1)猜想：当点D在边AB的延长线上，点E在边AC上时，过点E作EF
AB交BC于点F，若BD＝CE，则线段DM、EM的大小关系为 ．(2)探究：当点D在边AB的延长线上，点E在边CA的延长线上时，如图②．若BD＝CE，线段DM、EM的大小关系，并加以证明．
(3)拓展：当点D在边AB上（点D不与A、B重合），点E在边CA的延长线上时，如图③．若BD＝2，CE=8，DM＝1.4．则ED的长为 ．
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9 . 
证明体验
（1）如图1，在
中，点在边上，点
在边上，
，
，
与
相交于点．求证：
．
思考探究
（2）如图2，在（1）的条件下，过点作的平行线交于点
，若
，
，求
的长．
拓展延伸
（3）如图3，在四边形
中，对角线与相交于点
，
，
，
，
，求的长．
证明体验（1）如图1，在
中，点在边上，点在边上，，，与相交于点．求证：．思考探究（2）如图2，在（1）的条件下，过点
作的平行线交于点，若，，求的长．拓展延伸（3）如图3，在四边形
中，对角线与相交于点，，，，，求的长．
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2023-03-23更新
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268次组卷
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2卷引用：2022年广东省广州市番禺区九年级数学二模试卷
10 . 数学课上，陈老师出示了如下框中的题目．小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
教材呈现：
(1)当点E为的中点时，如图1，确定线段
与
的大小关系，请直接写出结论：__________．（填“>”“<”或“=”）．
(2)变换探究：当点E为上任意一点时，如图2，探索线段、之间的数量关系？请证明你的结论．
(3)拓展应用：如图3，若点E在线段的延长线上，试判断与的大小关系，并说明理由．
教材呈现：
(1)当点E为
的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请直接写出结论：__________．（填“>”“<”或“=”）．(2)变换探究：当点E为
上任意一点时，如图2，探索线段、之间的数量关系？请证明你的结论．(3)拓展应用：如图3，若点E在线段
的延长线上，试判断与的大小关系，并说明理由．
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2023-03-16更新
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163次组卷
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2卷引用：贵州省遵义市新蒲新区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题
