1 . 如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．

2 . 某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：问题提出：如图，正方形中，，P为对角线上的一个动点，以P为直角顶点，向右作等腰直角．

(1)的最小值为_______，最大值为________；
(2)求证：点M在射线上；

4 . 综合与实践：
动手操作：某校八（1）班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后，利用手头上的一副三角板（，）的直角顶点O放置在另一块直角三角板（，）斜边AB的中点处
发现结论：
   
（1）如图1，三角板的两边，分别与另一块三角板的边，交于点P，Q（规定：此时点P，Q均在边，上运动），他们在旋转过程中，发现线段与的长总相等及四边形的面积不会发生变化．
问题解决：
①请你帮他们说明的理由；
②若，请你帮他们求出四边形的面积．
拓展延申：
（2）如图2，连接，当，，那么直角三角板在绕点O旋转一周的过程中，请你直接写出线段长的最小值和最大值．

6 . 【问题提出】（1）如图，在中，，，平分交边于点，点为边上的一个动点，连接，则线段长的最小值为________．
【问题探究】（2）如图2，在中，，，点为边的中点，且，的两边分别交、于点、．求四边形的面积．
【问题解决】（3）为实现全民健身的需要，某房地产商在进行居民小区设计时考虑在小区内修建一片室内健身休闲区．如图，为小区的大致示意图，设计师将小区分成、、和四部分，其中在、和三区建造三栋居民楼，在区域修建室内健身休闲区．根据设计要求：，，点、点、点分别在边、边和边上，且点为边的中点，，为了尽可能给居民更加宽阔的健身空间，全民健身区的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．
   

7 . 如图，在中，，若点D为BC的中点，过点D作，分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则下列结论中：①是等腰直角三角形；②的周长有最小值；③四边形AMDN的面积为定值8；④的面积有最小值；⑤的面积有最大值．正确的有（　　）

A．5个

B．4个

C．3个

D．2个

9 . 在中，，，是边上一点，连接．

(1)如图1，是延长线上一点，与垂直．求证：；
(2)如图2，过点作，为垂足，连接并延长交于点，求证：；
(3)如图3，将（1）中的以点为中心逆时针旋转得，，对应点分别是，，为上任意一点，为的中点，连接，若，，最大值为，最小值为，求的值．