1 . 如图1，在
中，过点
作
，且
，连接
．
(问题原型)(1)若
，且
，过点
作的
的
边上的高
，易证
，从而得到的面积为______．
(变式探究)(2)如图2，若，
，用含
的代数式表示
的面积，并说明理由．
(拓展应用)(3)如图3，若
，
，则的面积为______．
中，过点作，且，连接．(问题原型)(1)若
，且，过点作的的边上的高，易证，从而得到的面积为______．(变式探究)(2)如图2，若
，，用含的代数式表示的面积，并说明理由．(拓展应用)(3)如图3，若
，，则的面积为______．
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2022-11-09更新
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175次组卷
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4卷引用：湖北省襄阳市樊城区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题
湖北省襄阳市樊城区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题（已下线）专题12.2 全等三角形 重难点题型8个-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（人教版）（已下线）专题1.3 三角形的初步认识 重难点题型11个-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（浙教版）（已下线）专题1.3 全等三角形 重难点题型8个-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（苏科版）
名校
2 . 课本再现：
（1）在图1中，一块材料的形状是锐角三角形
，边
，高
．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在
上，求这个正方形的边长．
变式探究：
（2）如图2，若一块三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究
与的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：
（3）如图3，若一块三角形材料可以加工成4个相同大小的正方形零件，且
，请你探究
的值．
（4）如图4，若一块三角形材料用同样的方式，可以加工成
个相同大小的正方形零件，设每个正方形的边长为a，则
．（用含a，n的代数式表示，直接写出结果）
（1）在图1中，一块材料的形状是锐角三角形
，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，求这个正方形的边长．变式探究：
（2）如图2，若一块三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究
与的数量关系，并说明理由．拓展延伸：
（3）如图3，若一块三角形材料可以加工成4个相同大小的正方形零件，且
，请你探究的值．（4）如图4，若一块三角形材料用同样的方式，可以加工成
个相同大小的正方形零件，设每个正方形的边长为a，则 ．（用含a，n的代数式表示，直接写出结果）
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2024-02-25更新
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97次组卷
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2卷引用：江西省南昌市外国语学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
3 . 【基础巩固】如图1，在
中，，
，点D是AC的中点．延长BC至点E，使
，延长ED交AB于点F，则
的值为______；
【思考探究】如图2，当
时，的值会发生变化吗？若不变，请写出证明过程；若发生变化，请说明理由．
【拓展延伸】如图3，在中，，点D是线段AC上任意一点．延长BC至点E，使，延长ED交AB于点F，若
，请求出的值（用含n的式子表示）．
中，，，点D是AC的中点．延长BC至点E，使，延长ED交AB于点F，则的值为______； 【思考探究】如图2，当
时，的值会发生变化吗？若不变，请写出证明过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展延伸】如图3，在
中，，点D是线段AC上任意一点．延长BC至点E，使，延长ED交AB于点F，若，请求出的值（用含n的式子表示）．
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4 . 已知正方形
，
，
为平面内两点．
【探究建模】
(1)如图1，当点在边
上时，
，且B，
，三点共线．求证：
；
【类比应用】
(2)如图2，当点E在正方形外部时，，
，且，，三点共线．猜想并证明线段
，
，之间的数量关系；
【拓展迁移】
(3)如图3，当点E在正方形ABCD外部时，
，
，
，且D，F，E三点共线，与交于
点．若
，
，求正方形ABCD 的边长．
，，为平面内两点．【探究建模】
(1)如图1，当点
在边上时，，且B，，三点共线．求证：；【类比应用】
(2)如图2，当点E在正方形
外部时，，，且，，三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系；【拓展迁移】
(3)如图3，当点E在正方形ABCD外部时，
，，，且D，F，E三点共线，与交于点．若，，求正方形ABCD 的边长．
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5 . （1）【问题背景】如图（1），
，
，
，连接
．求证：
；
（2）【问题探究】将图（1）中
绕着点
旋转，使点落在内部，如图（2），其余条件不变，请探究
与的关系（数量关系和位置关系），并证明你的结论；
（3）【拓展应用】连接图（1）中
如图（3），若
，请直接写出四边形
的面积．
，，，连接．求证：；（2）【问题探究】将图（1）中
绕着点旋转，使点落在内部，如图（2），其余条件不变，请探究与的关系（数量关系和位置关系），并证明你的结论；（3）【拓展应用】连接图（1）中
如图（3），若，请直接写出四边形的面积．
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2022-10-26更新
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239次组卷
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4卷引用：贵州省遵义市第三十二中学2022-2023学年八年级上学期10月月考数学试题
贵州省遵义市第三十二中学2022-2023学年八年级上学期10月月考数学试题（已下线）第1章 勾股定理（单元测试·综合卷）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）（已下线）第3章 勾股定理（单元测试·综合卷）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）山东省德州市宁津县张宅中学2023-2024学年九年级上学期第一次月月考数学试题
6 . 探究性学习
(1)【特例证明】如图1，
平分
，点A为
上一点，过点A作
，垂足为C，延长
交
于点B．求证，
．
(2)【类比探究】如图2，中，，
，平分
，
，交的延长线于点E，试探究
和的数量关系，并证明你的结论．
(3)【拓展运用】如图3，中，，，点D在线段上，且
，
于E，交于F，请直接写出和
之间的数量关系为__________．
(1)【特例证明】如图1，
平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B．求证，．(2)【类比探究】如图2，
中，，，平分，，交的延长线于点E，试探究和的数量关系，并证明你的结论．(3)【拓展运用】如图3，
中，，，点D在线段上，且，于E，交于F，请直接写出和之间的数量关系为__________．
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7 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
(1)【观察与猜想】如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，
，
，则
的值为________；
(2)【类比探究】如图2，在矩形中，
，
，点是上的一点，连接，，
．求
的值：
(3)【拓展延伸】如图3，在四边形中，
，点为上一点，连接，过点作的垂线交
的延长线于点，交的延长线于点，且
，
，
，求的长；
(1)【观察与猜想】如图1，在正方形
中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为________；(2)【类比探究】如图2，在矩形
中，，，点是上的一点，连接，，．求的值：(3)【拓展延伸】如图3，在四边形
中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，，，求的长；
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8 . 【探究发现】（1）如图①，中，
是高和高的交点，则
与
的大小关系是______________；
【拓展运用】（2）如图①，中，是高和高的交点，且
，请你猜想
和的数量关系，并说明理由；
【知识迁移】（3）若将图①中的
改成钝角，是高和高所在直线的交点，且，请你在图②中画出该题的图形，此时（1）中的结论还成立吗？为什么？
中，是高和高的交点，则与的大小关系是______________；【拓展运用】（2）如图①，
中，是高和高的交点，且，请你猜想和的数量关系，并说明理由；【知识迁移】（3）若将图①中的
改成钝角，是高和高所在直线的交点，且，请你在图②中画出该题的图形，此时（1）中的结论还成立吗？为什么？
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9 . （1）问题背景
如图1，
中，，，
的平分线交直线于，过点作，交直线于．请探究线段与的数量关系．（事实上，我们可以延长与直线
相交，通过三角形的全等等知识解决问题．
结论：线段与的数量关系是 （请直接写出结论）；
（2）类比探索
在（1）中，如果把改为的外角
的平分线，其他条件均不变（如图
，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）中，如果
，且
，其他条件均不变（如图
，请你直接写出与的数量关系．
结论：
（用含n的代数式表示）．
如图1，
中，，，的平分线交直线于，过点作，交直线于．请探究线段与的数量关系．（事实上，我们可以延长与直线相交，通过三角形的全等等知识解决问题．结论：线段
与的数量关系是 （请直接写出结论）；（2）类比探索
在（1）中，如果把
改为的外角的平分线，其他条件均不变（如图，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）拓展延伸
在（2）中，如果
，且，其他条件均不变（如图，请你直接写出与的数量关系．结论：
（用含n的代数式表示）．
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2023七年级下·全国·专题练习
10 . 如图1，在中，过点B作，且，连接．
（问题原型）（1）若，且，过点D作的的边上的高，易证，从而得到的面积为______．
（变式探究）（2）如图2，若，，用含a的代数式表示的面积，并说明理由．
（拓展应用）（3）如图3，若，
，则的面积为______．
中，过点B作，且，连接．（问题原型）（1）若
，且，过点D作的的边上的高，易证，从而得到的面积为______．（变式探究）（2）如图2，若
，，用含a的代数式表示的面积，并说明理由．（拓展应用）（3）如图3，若
，，则的面积为______．
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