1 . 问题提出
在综合与实践课上，某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1，在边长为4的正方形的中心作直角，的两边分别与正方形的边，交于点E，F（点E与点B，C不重合），将绕点O旋转．在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？
爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路．
浩浩：如图a，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质，证明了，则，．这样，就实现了四边形的面积向面积的转化．
小航：如图b，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积．

（1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到__________；__________．
类比探究
（2）①如图⒉，在矩形中，，，O是边的中点，，点E在上，点F在上，则__________．
②如图3，将问题中的正方形改为菱形，且，当时，其他条件不变，四边形的面积还是一个定值吗？若是，请求出四边形的面积；若不是，请说明理由．
拓展延伸
（3）如图4，在四边形中，，，，，是的平分线，求四边形的面积．

2 . 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．

(1)问题背景
如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时，     ；
如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则     ；
(2)探究迁移
如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．

3 . （1）问题探究；如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．

   

①判断与的数量关系：______；②推断：的值为________；
（2）类比探究，如图（2），在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
   
（3）拓展应用．如图3，四边形ABCD中，，点M、N分别在边上，求的值．
   

8 . 【探究发现】如图1，正方形的对角线交于点O，E是边上一点，作交于点F；学习小队发现，不论点E在边上运动过程中，与恒全等.请你证明这个结论；
【类比迁移】如图2，矩形的对角线交于点O，，E是延长线上一点，将绕点O逆时针旋转得到，点F恰好落在的延长线上，求的值；
【拓展提升】如图3，等腰中，，点E是边上一点，以为边在的上方作等边，连接，取的中点M，连接，当时，直接写出的长.
   

9 . 综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为（），设线段与相交于点M，线段分别交于点O，N．
特例分析：（1）如图2，当旋转到时，旋转角的度数为___________；
探究规律：（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论．
拓展延伸：（3）①直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数．
②在图3中，作直线交于点P，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数．
（4）连接，在旋转过程中是否存在角，使四边形是平行四边形？若存在，直接写出的度数；如果不存在，请说明理由．
             

10 . 问题提出：
（1）在学习几何时，我们可以通过构造基本图形，将几何“模型”化．例如在三角形全等与三角形的相似的学习过程中，“K”字形是非常重要的基本图形．如图1，已知：，D、C、E三点共线，，由易证；
如图2，已知：，D，C，E三点共线，若、、，则的长为______；

问题探究：（2）①如图3，已知：，，、C、E三点共线，求证：；
②如图4，已知点，点B在直线上，若，则此时点B的坐标为______；

问题拓展：
（3）如图5，正方形中，点G是边上一点，，，垂足分别为F、E．若，四边形的面积等于10，求正方形的面积．
（4）如图6，正方形中，点E、F分别在、边上，，连接、DF，则的最小值是______．