1 . （1）教材呈现：
人教版数学教材八年级上册第56页有这样一道习题：“如图1，，，，，垂足分别为，，，，求的长．”请直接写出此题的答案：的长为       ；

（2）类比探究：
如图，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角，已知：，．求证：；
（3）拓展应用：
如图，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为       ．

2 . 综合与实践：

【问题情境】已知是的平分线，P是射线上的一点，点D，E分别在射线，上，连接，．
【初步探究】（1）如图1，当，时，与的数量关系是______；
【深入探究】（2）如图2，若，（1）中与的数量关系还成立吗？请说明理由；
【拓展应用】（3）如图3，中，平分交于点D，若，，，求的面积．

3 . 【实践操作】
在矩形中，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原，若点P落在矩形的边上（如图①所示），当点P与点A重合时，；当E与点A重合时，；
​【初步思考】
当点E在上，点F在上时（如图②所示），求证：四边形为菱形；
【深入探究】
当点P落在矩形的内部（如图③所示），且点E、F分别在边上时，则的最小值为             ；
【拓展延伸】
若点F与点C重合（如图④所示），点E在上，线段与线段交于点M，，则线段的长为             ．

4 . 如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连接，．
【基础巩固】
（1）求证：在沿直线平移过程中，四边形是平行四边形；
【操作思考】
（2）如图2，已知，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长；
【拓展探究】
（3）如图3，连接，若四边形为菱形，且，求的度数．

   

5 . 在中，点D在直线上，点E在平面内，点F在的延长线上，，，．
   
【问题解决】
（1）如图1，若点D在边的延长线上，求证：；
【类比探究】
（2）如图2，若点D在线段上，请探究线段、与之间存在怎样的数量关系，并证明；
【拓展延伸】
（3）如图3若点D在线段的延长线上，请探究线段、与之间的数量关系，并证明．

6 . 中，，过点作，点为边上一个动点，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点，连接.
问题初现：
（1）如图1，若，则线段与的数量关系为______；
类比探究：
（2）如图2，若，求出线段与的数量关系，并说明理由；
拓展应用：
（3）在（2）的条件下，若，，点在上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长.

7 . 在中，于点D，点P为射线上任一点（点B除外），连接，将线段绕点P顺时针方向旋转α，，得到，连接．

(1)【观察发现】如图1，当，且时，与的数量关系是        ，与的位置关系是        ．
(2)【猜想证明】如图2，当，且时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）
(3)【拓展探究】在（2）的条件下，若，，请直接写出的长．

8 . 综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为，设线段与相交于点M，线段分别交，于点O，N．

特例分析：（1）如图2，当旋转到时，判断的形状并说明理由；
探究规律：（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论；
拓展延伸：（3）①请求出当是等腰三角形时旋转角的度数；
②在图3中，作直线，交于点P，直接写出当时旋转角的度数．

9 .    
(1)观观察理解：如图1，中，，，直线过点，点在直线同侧，，，垂足分别为，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（______）；（请填写全等判定的方法）；
(2)理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积_____
(3)类比探究：如图3，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，则的面积      ．
(4)拓展提升：如图4，等边中，，点在上，且，动点从点沿射线以速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，设点运动的时间为秒．
当_____秒时，；
当_____秒时，点恰好落在射线上．