2 . 在中，，点在直线上，直线与的夹角为， 且，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，．

   

(1)【问题解决】
如图，若，则的度数为________，的值为______；
(2)【问题探究】
如图，若，判断的值是否发生变化？并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图，， 交于点， 点在线段上 ，，，求线段的长．

3 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察猜想】
（）如图，在正方形中，点分别是上的两点，连接，，则的值为__________．
（）如图，在矩形中，，，点是上的一点，连接，且，则的值为__________；
【类比探究】
（）如图，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：．
【拓展延伸】
（）如图，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点分别在边上，连接，，．求的值．

4 . 某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形（）的对角线的交点旋转（），图中的分别为直角三角形的直角边与矩形的边的交点．
解决问题：（）该学习小组成员意外的发现图（三角板一直角边与重合）中，此时发现这三条线段之间满足以下的数量关系：；在图中(三角板一边与重合)，，请你对这名成员在图和图中发现的结论选择其一说明理由．

类比探究：（）在图中（三角板一边与重合），直接写出这三条线段之间所满足的数量关系          ．
在图中，试探究这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．
拓展延伸：（）将矩形改为边长为的正方形，直角三角板的直角顶点绕点旋转到图，两直角边与，分别交于，直接写出这四条线段之间所满足的数量关系．（不需要证明）

5 .

(1)【阅读理解】如图①，在中，，是斜边上的中线．试判断与的数量关系．解决此问题可以用如下方法：延长至点，使，连接，．易证四边形是矩形，得到，即可作出判断．则与的数量关系为          ；
(2)【问题探究】如图②，直角三角形纸片中，，点是边的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，求的长度；
(3)【拓展延伸】如图③，在等腰直角三角形中，，，是边的中点，，分别是边，上的动点，且，当点从点运动到点时，的中点M所经过的路径长是多少？

6 . 综合与实践．
【问题发现】（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：．

【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值．
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长．

7 . 综合与实践：

【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，是边上一点，于点，，，，求证：四边形为正方形；
【实践探究】（2）小宇受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，是边上一点，于点，于点，交于点，请探究线段，，之间的数量关系并说明理由；
【拓展迁移】（3）小阳深入研究小宇提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，是边上一点，于点，点在上，且，连接，，请探究线段与的数量关系并说明理由．

9 . （1）问题解决：如图1，点在一条直线上，，求证：；
（2）问题探究：在（1）的条件下，若点为的中点，求证：；
（3）拓展运用：如图2，在中，，点是的内心，若，求的长．