3 . 问题提出：
(1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图1，中，，，，P为上一点，当______时，与是偏等积三角形；

问题探究：
(2)如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，则的长度为______；
问题解决：
(3)如图3，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由．
问题拓展：
(4)如图4，将分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，，，则图中有______组偏等积三角形．

4 . 数学课上，老师出示了如下的题目：
“在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：________（填“＞”，“＜”或“＝” ）
(2)特例启发，解答题目
解：题目中，与的大小关系是：_______（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作，交于点F，请你完成解答过程．
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形中，点E在射线上，点D在射线上，且．若的边长为1，，画出符合条件的图，求的长．

5 . 如图1，在正方形中，，点是对角线上任意一点（不与B、D重合），点O是的中点，连接，过点作交直线于点．

初步感知：当点P与点O重合时，比较：　 　（选填“＞”、“＜”或“＝”）．
再次感知：如图1，当点P在线段上时，如何判断和数量关系呢？
甲同学通过过点P分别向和作垂线，构造全等三角形，证明出；
乙同学通过连接，证明出，，从而证明；
理想感悟：如图2，当点P落在线段上时，判断和的数量关系，并说明理由．
拓展应用：连接，并延长交直线于点F．
（1）当时，如图3，直接写出的面积为　                  　；
（2）直接写出面积S的取值范围．

6 . 小文解答这样一个数学问题：如图1，在中，，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，求的值．小文经过思考发现，如图2，过点A作，交BE的延长线于点F，通过构造，经过推理和计算就能使问题得到解决．

(1)解决问题：请你根据小文的解题思路，完成求的值的过程；
(2)拓展应用：参考小文思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在中，，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，．
①求的值；
②若，求BP的长．

7 . 解答
(1)问题背景：如图①，已知中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，，易证： __________________；（从图①中选择三条线段填空）．
   
(2)拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，请写出，，三条线段的数量关系，并证明；
   
(3)实际应用：如图③，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，请直接写出点的坐标．
   

8 . 在中，，是的角平分线，于点E．

(1)如图1，连接，求证：是等边三角形；
(2)点M是线段上的一点（不与点C，D重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，其中与之间的数量关系 ______．
(3)如图3，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究与数量之间的关系，并说明理由．

9 . 如图，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．

(1)当直线绕着点C旋转到如图1所示的位置时，
求证：①；
②；
(2)当直线绕着点C旋转到如图2所示的位置时，探究之间有怎样的数量关系，并加以证明．

10 . 如图，在中，平分，于点E，点F是的中点．

(1)如图1，的延长线与边相交于点D，求证：；
(2)如图 2，探究线段之间的数量关系，直接写出你的结论：        ．