1 . 在平面直角坐标系中，已知点，N．对于点P给出如下定义：将点P向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
   
(1)如图，点，点N在线段的延长线上，若点，点Q为点P的“对应点”．
①在图中画出点Q；
②连接，交线段于点T．求证：；
(2)的半径为1，M是上一点，点N在线段上，且（），若p为外一点，点Q为点P的“对应点”，连接．当点M在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．

2 . 在平面直角坐标系中，已知点，．
对于点给出如下定义：将点向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
(1)如图，点，点在线段的延长线上，若点，点为点的“对应点”．

①在图中画出点；
②连接，交线段于点．求证：；
(2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接．当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）．

3 . 在平面直角坐标系中，已知点，．对于点给出如下定义：将点绕点逆时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
(1)如图，若点在坐标原点，点，

①点的“对应点”的坐标为______；
②若点的“对应点”的坐标为，则点的坐标为______；
(2)如图，已知的半径为1，是上一点，点，若为外一点，点为点的“对应点”，连接．

①当点在第一象限时，求点的坐标（用含，，的式子表示）
②当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积为______（用含的式子表示）

6 . 已知，，直线是过点的一条动直线（不与直线，重合），分别过点，作直线的垂线，垂足为，．

(1)如图1，当时，
①求证：；
②连接，过点作于，过点作交的延长线于点．依题意补全图形，用等式表示线段，，的数量关系，并证明；
(2)在直线运动的过程中，若的最大值为3，直接写出的长．

7 . 如图，已知等腰直角，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．

(1)求的度数；
(2)作的平分线交于点，交的延长线于点，连接，补全图形，用等式表示线段之间的数量关系并证明；
(3)若的长为，取中点，请直接写出线段的最大值．

8 . 对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”例如，图中点为点关于点的“垂直图形”．

(1)点A关于原点的“垂直图形”为点．
若点A的坐标为，则点的坐标为___________；
若点的坐标为，则点的坐标为___________；
(2)，，，线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点的对应点为．
求点的坐标（用含的式子表示）；
若的半径为上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的长度的最大值．

9 . 定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“和谐分割线”．
（1）下列三角形中，不存在“和谐分割线”的是 　 　（只填写序号）．
①等边三角形；②顶角为150°的等腰三角形；③等腰直角三角形．
（2）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接写出△ABC被“和谐分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数；
（3）如图2，△ABC中，∠A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝4，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l于M，DN⊥l于N．若射线CD为△ABC的“和谐分割线”．求CM+DN的最大值．