4 . 观察猜想：

（1）如图1，，，D，C，E三点在同一条直线上，且，，垂足分别为点D，E，则线段，，三者之间的数量关系是_____________；
类比探究：
（2）如图2，，，D，C，E三点在同一条直线上，且，，垂足分别为D，E，线段，，三者之间的数量关系有变化吗？请说明理由．
拓展延伸：
（3）如图3，若将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，为任意钝角，那么（1）中你的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

5 . （1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点处，则点B的坐标为      ；
（2）感悟应用：如图2，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点D．
①点A的坐标为      ，点B的坐标为      ；
②直接写出点C的坐标      ；
（3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且，．若点C的坐标为，点A的坐标为，点B在第四象限时，请求出点B的坐标．

6 . 问题提出：
（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图中，，，，为上一点，当________时，与是偏等积三角形；
问题探究：
（2）如图，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，求的长度为________．
问题解决：
（3）如图，四边形是一片绿色花园，，，（）．与是偏等积三角形吗？请说明理由．
   

7 . 如图①，在四边形 中，，点 E 是的中点， 若是的平分线．

（1）求证：是 的平分线
（2）线段之间的数量关系是            ；
问题探究： 如图②．在四边形中，，与的延长线交于点F， 点E是的中点， 若是的平分线， 试探究之间的等量关系，并证明你的结论．

8 . 如图1，已知在等腰直角中，，，，是的中点，点从A点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点，若运动时间为．
   
(1)当时，求的长；
(2)在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，连接，上是否存在点使得与全等，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．

9 . 综合与实践：
问题情境：数学课上，小王和小东两位同学利用三角板操作探究图形．
操作探究1：小王将两块全等的含角的直角三角板按如图①方式在平面内放置，其中两锐角顶点重合于点，．已知长，则点、之间的距离为        ．（写出具体解答过程）
操作探究2：小东将两块全等的含角的直角三角板按如图②方式在平面内放置．其中两个角顶点重合于点，与重合，已知长，请你帮小东同学求出此对点、之间的距离；
操作探究3：随后，小王将图②中的换成了含角的三角板，同样是顶点重合于点，与重合，已知直角边与长均为，他还想求点，之间距离，你能求出此时点，之间的距离吗？

10 . 如图，在中，平分交于点，平分交于点，与交于点，．
   
(1)求的度数；
(2)过点作于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由．