1 . 【实践操作】
在矩形中，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原，若点P落在矩形的边上（如图①所示），当点P与点A重合时，；当E与点A重合时，；
​【初步思考】
当点E在上，点F在上时（如图②所示），求证：四边形为菱形；
【深入探究】
当点P落在矩形的内部（如图③所示），且点E、F分别在边上时，则的最小值为             ；
【拓展延伸】
若点F与点C重合（如图④所示），点E在上，线段与线段交于点M，，则线段的长为             ．

2 .    
(1)观观察理解：如图1，中，，，直线过点，点在直线同侧，，，垂足分别为，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（______）；（请填写全等判定的方法）；
(2)理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积_____
(3)类比探究：如图3，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，则的面积      ．
(4)拓展提升：如图4，等边中，，点在上，且，动点从点沿射线以速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，设点运动的时间为秒．
当_____秒时，；
当_____秒时，点恰好落在射线上．

3 . （1）尝试探究：如图①，在等腰直角中，，是过点A的一条直线，且B、C在的同侧，于点D，于点E，则图中与线段相等的线段是______；
（2）类比延伸：如图②，已知等腰直角，，点A、B的坐标分别是、，求点C的坐标；
（3）拓展迁移：在（2）的条件下，在第一象限内是否存在一点P，使与全等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4 . 【问题探究】如图①，在正方形中，，点为上的点，，连接，点为上的点，过点作交于点，交于点，求的长度．
此问题可以过点作于点，根据正方形的性质及矩形的判定与性质，易证
．根据全等三角形的性质得出， 再由勾股定理可以求得             ；
【类比迁移】如图②，在矩形中，， ， 连接，过的中点作交于点，交于点， 求的长度．
【拓展应用】如图③，李大爷家有一块平行四边形的菜地．记为． 测得 米，米， ．为了管理方便，李大爷沿着对角线开一条小路，过这小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路（小路面积忽略不计）．直接写出新开出的小路的长度．
   

5 . 在四边形中，对角线、相交于点O，过点O的直线分别交边、、、于点E、F、G、H．

(1)【感知】如图①，若四边形是正方形，且，求证：；
(2)【拓展】如图②，若四边形是矩形，且，若，，，则________________（用含a、b、m的代数式表示）：
(3)【探究】如图③，若四边形是平行四边形，且，若，，则________．

6 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】
(1)如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接，，，则的值为___________．
【类比探究】
(2)如图②，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值．
【拓展延伸】
(3)如图③，在中，，点在边上，连结，过点作于点，的延长线交边于点．若，，，则___________．

7 . 实践与探究：

【操作一】：如图①，已知矩形纸片，点和点分别是和上的点，将矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点是点．求证：；

【操作二】：在操作一的基础上，将矩形纸片沿继续折叠，点的对应点是点．我们发现，当矩形的邻边长度比值不同时，点的位置也不同．如图（2），当点恰好落在折痕上时，     ；

【拓展】：如图（3），在【操作二】中点恰好落在折痕上时，点N为上任意一点，连接、．若，则的最小值为     ．

8 . 知识探究：如图1，点E是正方形对角线AC上任意一点，以点E为直角顶点的直角两边，分别角与，相交于M点，N点．当时，请探究与的数量关系，并说明理由；
拓展探究：当绕点E顺时针旋转到点M与点D重合时，如图2，请探究与的数量关系，并说明理由；
迁移运用：在图2的基础上，过点E作于点H，如图3，证明H是线段的中点．
   

9 . （1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点在直线同侧，，，垂足分别为，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（______）；（请填写全等判定的方法）；
（2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积_____；
（3）类比探究：如图3，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积；
（4）拓展提升：如图4，等边中，cm，点在上，且cm，动点从点沿射线以2cm/s速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，设点运动的时间为秒．
当_____秒时，；
当_____秒时，点恰好落在射线上．

10 . 解答题
(1)问题发现
如图1，把一块三角板（，）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，发现与始终相等的角是        ，与线段相等的线段是        ；
(2)拓展探究
如图2，在中，点在边上，并且，．求证：．
(3)能力提升
如图3，在等边中，，分别为、边上的点，，连接，以为边在内作等边，连接，当时，请直接写出的长度．