1 . 如图在正方形中，E是对角线上的一动点（不与点B，D重合），连接，过点E作交射线于点F，接．

(1)发现问题：如图1，当点F落在边上时，和的数量关系是       ．
(2)探究问题：如图2当点F落在边的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请判断并说明理由．
(3)拓展应用：当点E在射线上运动，且时，求的面积．

2 . 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
如图①-②，D为等腰的斜边所在直线上的一个动点，连接，把绕着点C 逆时针旋转到的位置．同学们通过观察，发现了以下结论∶①；②；③如图②，若，四边形 的面积为         ，④、、的数量关系是          ；

   

(2)类比迁移
如图④-⑥，D为等腰的直角边所在直线上的一个动点，连接，把绕着点 D 逆时针旋转到的位置，连接．请你类比问题（1）中的结论，选用图④、图⑤、图⑥中的任意一个图形完成下列问题：
①求 的值；
②试探究、、的数量关系，并证明你的结论；

   

(3)拓展应用
若，当点D在直线上运动至时，请直接写出的长和以A、B、D、E 为顶点的四边形的面积．

3 . 综合与实践
【提出问题】在一次数学活动课上，老师提出这样一个问题：如图，正方形中，点E是射线上的一个动点，过点E作交正方形的外角的平分线于点F．求证：．

小明的证明思路如下：
如图，在上截取，连接．
则易得，，____________．
∴．∴．
（1）补全小明的证明思路，横线处应填____________．
【深入探究】如图2，在上述题目的基础上，过点F作的平行线交直线于点G．以为斜边向右作等腰直角三角形．
（2）求证：；
（3）试探究线段与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】（4）已知，当长为2时，请直接写出线段的长．

4 . 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究：
在 中， 点P 是边上任意一点，连接．把边沿直线翻折得线段，过点B 和点 E 的直线与的延长线相交于点 D，连接．

【探究一】如图1，若 则：
①的度数是         ；
②试探究线段之间的数量关系，并说明理由；
【探究二】如图2，若 ，试探究线段之间的数量关系，并说明理由；
【拓展运用】在图2中，若，求的值．

5 . 已知的顶点在的边所在的直线上（不与重合），交直线于点交直线于点．

(1)[初步探究]如图1，若点D，M，N分别在边上，且，求证：；
(2)[深入探究]如图2，若点在边上，点在的延长线上，点在边上，试探究与具有什么关系？并说明理由；
(3)[拓展应用]如图3，若点在的延长线上，点与点重合，点在的延长线上，且，请直接写出的长．

6 . 我们知道在解与角平分线有关的问题时，通常过角平分线上的一点作角两边的垂线，构造全等三角形，请完成下列问题．
【初步探究】（1）如图 1， ， 平分， 点 C 是射线 上一点，， 且与， 分别交于点 D， B， 求证：．
【类比探究】（2）如图2，其他条件不变，将图1的绕点C逆时针旋转使点 D落在的反向延长线上． 请探究线段，和之间的数量关系，写出结论并证明．
【拓展应用】（3）如图3，其他条件不变，将图1的绕点C顺时针旋转使点 B落在的反向延长线上． 请直接写出线段，和之间的数量关系． （不用证明）
   

7 . 探究与证明
（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，．求证：；
类比迁移
（2）如图2，矩形中，点E、F分别在边、上，且，，连接，把三角形沿翻叠，若点A的对应点G恰好落在边上，则的长为______；
拓展应用
（3）如图3，有一个矩形广场，，，广场上要修两条小路、，要求点E、F、G分别在边、、上，且，，，广场上五边形内部将进行绿化，请求出绿化面积．

8 . 类比探究
在中，．
模型建立

（1）如图1，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由．小敏认为：可以延长交于点，容易得到与全等，从而解决问题．请你判断数量关系，并根据她的思路补全证明过程；
模型拓展
（2）如图2，点在上，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由；
模型应用
（3）如图3，将等腰放入平面直角坐标系，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，且平分，线段交轴于点，过点作轴交于点．若点的坐标是，点的坐标是，直接写出点的坐标是______．（用的代数式表示）

9 . 问题提出：在中，，直线N经过点C，且于点D，于点E．探究线段，，之间的数量关系．
      
分类探究：
（1）如图1，当A，B两点在直线N同侧时．①求证：；②推断：线段，，之间的数量关系是__________；
（2）如图2，当A，B两点在直线异侧时，请探究线段，，之间的数量关系，并写出证明过程；
拓展运用：
（3）如图3，，请直接写出m，n的值．

10 . 数学实践课上，老师组织同学们开展以“图形的旋转”为主题的探究活动，已知为等腰直角三角形，过点A的直线，射线绕点B旋转交于点M，过点M作，交直线于点N，探究线段和有怎样的数量关系？
(1)特例初探：
如图1，当时，点N与点A重合，猜想线段和间的数量关系，并证明你的结论；

   

(2)规律探究：
如图2所示，当与不垂直时，（1）的结论是否仍然成立？请猜想并证明你的结论；

   

(3)拓展应用：
已知：中，，过点O，E分别作，，垂足分别为O，E，与交于点F，连接，若，．
求：的面积．