1 . 综合应用
综合与实践数学活动课上，王老师给出了一个问题：

(1)如图1，将绕点C顺时针旋转30°，得到，点恰好落在斜边上，连接，则______．
(2)如图2，在中，，，点D，E在边上，，，且，请你求出的长度．
(3)如图3，在四边形中，，，，，，，求线段的长．

2 . 如图，A，B是某河中两块石头，小环利用三把相同的直角三角板，激光笔等工具测量A，B的距离．第一步，小环在河边找一点P，放置三角板，使得点C与P重合，测得点A，C，E共线，点B，C，D共线．第二步，在点D，E用激光笔分别向点A，B照射．第三步，摆放另外两个三角板，使得三个三角板的最长边在同一直线上，激光射线分别经过点F，I，其中，．若点H，J均在边上，，，，则的长为______，A，B的距离为______．

   

3 . 已知四边形是正方形，点E是射线上一点，连接，点D关于直线的对称点为M，射线与直线相交于点G．

(1)若点M在对角线上，则　　　度；
(2)如图，若E是的中点，试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
(3)若点E在边的延长线上，，求的长．

4 . 如图1，平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，两点，直线与交于点，与轴交于点．

(1)求点D的坐标；
(2)如图2，是线段上的一个动点（不与点重合），过作的垂线交于点．
①若，求的长；
②若的平分线与射线交于点，，，求关于的函数解析式．

5 . 已知：中，，于，点在边上，点在的延长线上，连接和．

(1)如图，若，请直接写出是______三角形；
(2)如图，若，求证为等边三角形；
(3)如图，在（）的条件下，将沿翻折，得到，连接，，求的长．

6 . 某学习小组在学习了正方形的相关知识后发现：正方形对角线上任意一点与正方形其他两个顶点相连形成的线段一定相等、该学习小组进一步探究发现：若过该点作其中一条线段的垂线与正方形的两边相交形成的较长线段和前面形成的两条线段也有关系，请根据下列探究思路完成作图和填空：
(1)尺规作图：过点作，分别交边于点．

(2)已知：在正方形中，点是对角线上一点，，分别交边于点．求证：
证明：四边形是正方形
平分．
①          ．
在和中，

．
，
又，
，
，
②          ．
，且
．
③          ，
．
④          ．
．

7 . 如图，为正方形的边所在直线上一点，连接，在上取点，使，过点作，交直线于点，交直线于点．

(1)如图①，当点在的延长线上时，求证：；
(2)当点在线段上或在的延长线上时，如图②、图③，猜想，和之间的数量关系，直接写出你的猜想，不需证明．

8 . 如图，在矩形中，，点是的中点，连接，点是上的点，过点作交于点，点关于的对称点为点，连接、，分别交于点，若，则四边形的面积为____________．
   

9 . 综合与实践
问题情境：如图①，在矩形中，，沿对角线折叠矩形并展开，再沿对角线折叠矩形并展开，两次的折痕交于点O，点E是上一点，连接并延长交于点F，连接．

问题探究：
（1）请判断四边形的形状并说明理由；
问题解决：
（2）在图①基础上将矩形沿折叠得到图②，点A、C对应点分别为点、．
①请判断与的位置关系，并加以证明；
②连接，当线段的长最小时，请直接写出的长．

10 . 三角形的角平分线、中线、高都是三角形的重要线段，我们知道，它们各有不同的性质为了进一步探究它们的作用，德馨小组合作学习时做了以下尝试：

(1)如图，中，，分别是，的角平分线，若，求；
(2)如图，中，，分别是，边上的中线，若，求；
(3)如图，中，，，分别是，边上的高线，若，求．