1 . 已知平分，点、、分别是射线、、上的点（点、、都不与点重合），且，联结交射线于点．

(1)如图1，当时，试说明的理由：
(2)在（1）的条件下，作的平分线交射线于，交射线于点，试说明的理由；
(3)当且是等腰三角形时，请直接写出的度数．

2 . 如图，菱形中，于点E，点F在上，于点H，分别交、于点G、点P．

   

(1)求证：；
(2)若．求证：；
(3)若，且，，求菱形的边长．

3 . 如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，．

(1)求证：
(2)若，点是上一动点，以的速度从点运动到点，问：点运动多少秒四边形是菱形？请说明理由．

4 . 如图，动点P、Q在平行四边形的边和对角线上运动，动点P的运动轨迹为折线，动点Q的运动轨迹为折线，两动点同时开始运动，且运动速度均为．设动点运动时间为x秒，两动点间距离为，x与y的函数关系式如图所示．当点P在平行四边形的边上运动时，两动点间的最短距离为m，此时运动时间为（）秒，则m的值为（       ）．

A．

B．

C．

D．

5 . 问题探究

（1）如图1，在中，E，F，G，H分别是边，，，上的点（不与的顶点重合），连接，，当，时，求证：．
问题解决
（2）某设计师根据客户要求在一块圆形场地进行布景设置．如图2，设计师通过设计软件画出圆形场地，记作，主区域内接于，经过圆心O，M为上一点，，，垂足分别为E，F，要求．观赏区为与，已知．设，观赏区与的面积的和为．
①求S与x之间的函数关系式．
②当S最大时，求的面积．

6 . 综合与实践
数学实践课堂上，张老师从一道基础题入手，通过不断变化题目，引导学生们发现解决此类问题的图形中的基本图形，进而通过构造基本图形，解决问题．
(1)基础题：
如图1，于点B，于点D，P是上一点，．

①若，则与的关系为         ．
②若，且，则        ．
(2)构造应用
①如图2，点E是正方形边上一点，与交于点G，连接，请直接写出        °．

②如图3，沿的边向外作矩形和矩形，，连接是边上的高，延长交于点K，求证：K是中点，并直接写出与的数量关系：      ．

(3)综合应用
如图4，在矩形中，，点E是边上的动点（点E不与点A、D重合），连接，过点E作，交于点F，连接，过点B作，垂足为G，点M是边的中点．请直接写出当值最小时的值为：       ．

7 . 如图，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，连接，将绕它的中点P顺时针旋转得线段，点恰好落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点．若，点Q是x轴上一动点，则点的最小值为_______．

8 . 阅读下面的内容：
求证：三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半．
已知：中、分别是、的中点．
求证：，且．
证明：过点作的平行线交的延长线于点，如图所示：

，
，，
又，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，且，
，且．
类似的，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．
如图，梯形中，、分别是腰、的中点，就是梯形中位线．
梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半．
请参考例题证明梯形的中位线性质．
已知：如图梯形中，、分别是腰、的中点．
求证：________________．
证明：_____________________．

9 . 数学实践课上，老师组织同学们开展以“图形的旋转”为主题的探究活动，已知为等腰直角三角形，过点A的直线，射线绕点B旋转交于点M，过点M作，交直线于点N，探究线段和有怎样的数量关系？
(1)特例初探：
如图1，当时，点N与点A重合，猜想线段和间的数量关系，并证明你的结论；

   

(2)规律探究：
如图2所示，当与不垂直时，（1）的结论是否仍然成立？请猜想并证明你的结论；

   

(3)拓展应用：
已知：中，，过点O，E分别作，，垂足分别为O，E，与交于点F，连接，若，．
求：的面积．

   

10 . 如图1，四边形内接于圆O，对角线与交于点E，连结并延长交于点F，平分，连接，与交于点G，E为中点．

(1)求证：．
(2)若，求．
(3)如图2，在（2）的条件下，作，垂足为M，求的值．