1 . 如图1，正方形中，点P在边上，连接，点M在边上，连接，且；

(1)求证：；
(2)如图2，延长到点Q，使，作，且，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点E，若点E是中点，，求的长.

2 . 学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究．她发现：过菱形的一个钝角的顶点分别与两条对边上的点作线段，若这两条线段所夹的角与菱形的另一个钝角互补时，则这两条线段相等．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为点H．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形是菱形，过A作于点G，作于点H，点E、F分别是边上一点，连接，且满足．求证：．

证明：∵，
∵，
∴，
∵
∴①________________________
∴，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴②______________________________．
∴在和中
，
∴，
∴．
小莉再进一步研究发现，过菱形的一个钝角的顶点分别与两条对边上的点作线段均有此特征．请你依照题意完成下面的命题：过菱形的一个钝角的顶点分别与两条对边上的点作线段，则这两条线段：④__________________________．

3 . 如图，为等边三角形，，于点，点在线段上运动，当点不与点重合时，过点作的垂线交折线于点，交边于点F，以、为边作矩形，设线段的长为．

(1)线段的长为______；
(2)当点在线段上时，用含的代数式表示线段的长，并直接写出的取值范围；
(3)作点关于直线的对称点，作直线.
当点在边上时，若，求线段的长；
当直线将矩形分成两部分图形的面积比为时，直接写出的值．

4 . 已知抛物线（a，b，c为常数）．
(1)若直线l：是抛物线的对称轴，且．
①求抛物线与x轴的交点坐标；
②在平面直角坐标系中，点，点，若动点P在直线下方的抛物线上，连结、，当面积最大时，求点P坐标；
(2)若，抛物线过点，与y轴交于点C，将点B绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到点，当点恰好落在抛物线上，且满足时，求n的值．

5 . 如图，，于点M，D在上，E在上，．

(1)若，，求证：；
(2)作于点N，点F是一点，且，
①求证：；
②求的值．

6 . 学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现．连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：

(1)用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点（只保留作图痕迹）
(2)已知：在四边形中，，为中点，为中点
猜想：，且．
证明：是中点，①______
，
在和中
，

，
在中，是中点，是中点
且③______．


请你根据该探究过程完成下面命题：
连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④______．

7 . 如图1，已知锐角内接于，P为的内心，连结并延长分别交，于点D，E，连结．

(1)求证：．
(2)若，试求的值．
(3)若将条件“锐角内接于”改为“内接于，为直径”，如图2．过点P作于点F，设的外接圆半径为R，，试问的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

8 . 已知：如图，点在边上（不与点，点重合），在边上（不与点，点重合），连接，，与相交于点，，．
有以下四个结论：
①；
②；
③；
④．

(1)以上四个结论中正确的是      ．（只需填写序号）
(2)请从（1）中任选一个结论进行证明．

9 . 综合与实践

【模型探究】
（1）如图1，在中，点O为边的中点，作射线于点M，于点N．求证：．
【尝试建构】
（2）如图2，在中，点O为边的中点，点P在边上（不与点B，C，O重合），作射线于点M，于点N．连接．猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
【迁移应用】
（3）如图3，在中，点D，E在边上，，作射线于点M，于点N．连接．若，，求的值．

10 . 如图，在中，点E在边上，连接．

(1)利用尺规作图，在边求作一点F，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，证明：四边形为菱形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴______________________，．
∵，
∴（）．
∴，______________________．
∵，
∴，
∴______________________
∵，
∴四边形是平行四边形（______________________）．（填推理依据）
∵，
∴四边形是菱形（______________________）．（填推理依据）