1 . 我们将抛物线 与抛物线称之为“轮换抛物线”．例如：抛物线 与抛物线 就是一组轮换抛物线．已知抛物线 其轮换抛物线记作．

(1)若与交于y轴上的同一点M，求a的值；
(2)在（1）的条件下且，抛物线与其轮换抛物线的另一个交点记作 N点，若将点M绕点N顺时针旋转后，M的对应点 P 恰好落在抛物线的图象上，求出此时b的值；
(3)小明同学阅读了《苏科版（数学）》课本九年级下册页《数学实验室》介绍的用几何画板画二次函数图象内容后，自己动手画了抛物线 及其轮换抛物线的图象，与与y轴的交点分别记作P、Q（P、Q两点不重合）．小明发现，不论a、b为何值时，两抛物线始终有一交点G点在与x轴垂直的某一固定直线上运动．若记求S的最大值．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，顶点，在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，，垂足是D，交于点E，，．请解答下列问题：

(1)求点B、点C的坐标；
(2)求线段的长；
(3)连接．若，在坐标轴上是否存在点F，使？若存在，请直接写出点F的个数和其中一个点F的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 三国时期魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时提出了一个以形证数的勾股定理证明方法，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也．”后人根据这段文字补了一张图，如图所示，大意是：，以为边的正方形为朱方，以为边的正方形为青方，引为边的正方形切割朱方和青方，多出的部分正好可以和弦方缺亏的部分相补．若，则＝__________________．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点．

                                                     备用图
(1)求线段的中点坐标；
(2)若点是直线上的一点，连接，若，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点在第一象限内，以为顶点作，射线交轴于．求点的坐标．

5 . 如图，在中，，．点在边上（不与点，重合），连接，过点作的垂线交过点且垂直于的直线于点．

(1)求证：；
(2)试探索线段，，之间有何数量关系？写出你结论，并证明；
(3)若点在的延长线上，那么线段，，之间又有何数量关系？请直接写出你结论，不用证明．

6 . 已知中，，直线l经过点A．如图，点D，E分别在直线l上，点B，C位于l的同一侧，若，求证：．

7 . 问题初探
（1）在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题：
如图①，在中，高，交于点F，且，试说明，有怎样的数量关系．
小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证，从而得出．
小明证明的依据可能是__________（填序号）．
   
①       ②       ③       ④
引导发现
（2）老师看同学们的兴致很高，又出了一道题：
如图②，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上．
   
填空：______°；
判断线段与的数量关系，并写出证明过程．
拓展延伸
（3）中，，，如图③，点D在线段上，于点E，交于点F，且，请直接写出和的数量关系．

   

8 . 在中，点D是边上一点，连接．

(1)如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积；
(2)如图2，若，点E在上，满足，过点C作于点C，交的延长线于点F，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，已知，点P，Q分别是线段上的动点，连接，当的最小值是n时，直接写出线段的长．（用含m，n的代数式表示）

9 . 【问题提出】
（1）如图1，为的边上的高，若，，则的长为________；
【问题探究】
（2）如图2，在中，，平分交于点D，若，，求的长；
【问题解决】
（3）如图3，直线l是一条小路，是李叔叔家的一块花园的平面示意图，其中边在小路l上，边上的点D处有一口灌溉水井，经测量，，米，米．李叔叔计划对该花园进行扩建，在点C右侧的小路l上取点E，并在、、内分别种植不同的花卉，根据李叔叔的规划要求，，请你计算区域的面积．

10 . 某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形为矩形，请你帮助他们解决下列问题：

(1)【初步尝试】：他们将矩形的顶点、分别在如图（1）所示的的边、上，顶点、恰好落在的对角线上，求证：；
(2)【深入探究】：如图2，若为菱形，，若，求的值；
(3)【拓展延伸】：如图（3），若为矩形，；且，请直接写出此时的值是________（用含有，的代数式表示）．