1 . 如图1，在四边形中，，对角线、交于点，已知，且．

(1)求的度数；
(2)如图2，若点为的中点，连接．
①证明：；
②若，，求的值．

2 . 如图，已知点M在反比例函数位于第二象限的图象上，点N在x轴的负半轴上，连接交该图象于点P，若恰好是以为斜边的等腰直角三角形，给出以下结论：的度数随着k的值的变化而变化；②的面积随着k的值的变化而变化；③；④的面积为．其中正确的有（       ）

A．①

B．①②

C．②③

D．②④

3 . 下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．

【作业】如图①，已知正方形中，分别是、边上的点，且．求证：．
证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到，则．
四边形是正方形，，
．
．
又，点在一条直线上．
＿＿＿，＿＿＿．
【探究】（1）在图①中，若正方形的边长为，，其他条件不变，求的长．
解：正方形的边长为，．
设，则．
在中，由，解得＿＿＿，即＿＿＿．
（2）如图②，在四边形中，，是边上的点，且，则＿＿＿．
（3）如图③，在中，，为边上的高．若，则的长为＿＿＿．

4 . 如图1，正方形中，，．过A点作轴于点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点．

(1)求证：；
(2)求反比例函数的表达式及点E的坐标；
(3)如图2，连接，点P为曲线上一点，过点P作坐标轴的垂线，垂足分别为点M、N，所做的垂线交于点Q、H，当时，探究：与的数量关系，并说明理由；
(4)如图3，过点C作直线，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由．

5 . 猜想证明（1）平面内，的直角顶点A放置在直线l上，，分别过B，C作直线l的垂线,垂足为D，E．

①如图1，旋转，当B、C两点在直线l的同侧时，请直接写出        ；
②如图2，旋转，当B、C两点在直线l的异侧时(点D在A，E两点之间)；猜想，，三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论；
问题解决（2）如图3，直线于点O，P为直线l上点O右侧的一动点，点Q在直线m上，连接，且，设的长度为x，的面积为，求y与x的关系式．

6 . 我们将抛物线 与抛物线称之为“轮换抛物线”．例如：抛物线 与抛物线 就是一组轮换抛物线．已知抛物线 其轮换抛物线记作．

(1)若与交于y轴上的同一点M，求a的值；
(2)在（1）的条件下且，抛物线与其轮换抛物线的另一个交点记作 N点，若将点M绕点N顺时针旋转后，M的对应点 P 恰好落在抛物线的图象上，求出此时b的值；
(3)小明同学阅读了《苏科版（数学）》课本九年级下册页《数学实验室》介绍的用几何画板画二次函数图象内容后，自己动手画了抛物线 及其轮换抛物线的图象，与与y轴的交点分别记作P、Q（P、Q两点不重合）．小明发现，不论a、b为何值时，两抛物线始终有一交点G点在与x轴垂直的某一固定直线上运动．若记求S的最大值．

7 . 在中，，D是射线上的一点．

(1)如图1，连接，过点A作于E交于F，若，，求的度数；
(2)如图2，若，O是中点，连接，点G是中点．连接交于点H，连接，若，求证：；
(3)如图3，若，，K是平面内一点，，Q是中点，当的长取得最大值时，请直接写出的面积．

8 . 【感知】如图①，若，易证（不用证明）；
【探究】如图②，正方形和正方形的边在同一条直线上，点在上，相交于点，求证：；
【应用】如图③，在“探究”的条件下，连接，若，则_______．

9 . 如图，正方形中，点在边上，点关于直线的对称点为点，连接，，．

(1)当为边中点时，根据题意补全图形，并求的长；
(2)当为边上一点，，求的度数；
(3)过点作交的延长线于，判断与的位置关系，并说明理由．

10 . 三国时期魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时提出了一个以形证数的勾股定理证明方法，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也．”后人根据这段文字补了一张图，如图所示，大意是：，以为边的正方形为朱方，以为边的正方形为青方，引为边的正方形切割朱方和青方，多出的部分正好可以和弦方缺亏的部分相补．若，则＝__________________．