名校
1 . 解答题
(1)如图甲,中,,,则的面积为________ .
(2)如图乙,中,,,点是边的中点,求的取值范围.
(3)如图丙,和中,,,,,点为的中点,点在线段的延长线上.请判断线段与线段的关系,说明理由.(提示:等角对等边)
(1)如图甲,中,,,则的面积为
(2)如图乙,中,,,点是边的中点,求的取值范围.
(3)如图丙,和中,,,,,点为的中点,点在线段的延长线上.请判断线段与线段的关系,说明理由.(提示:等角对等边)
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2 . 【感知】小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题:
小明发现,过点作交于,可证明,得到相关结论后,再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案.下面是小明的部分证明过程:
解:如图①,过点作交于,则,,
∵是的中点,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵是的一个三等分点,且,
∴,
∴,
∴
请你补全余下的证明过程.
【尝试应用】
如图②,在中,为上一点,,连结,若,交、于点、.若,,,则的长为______.
【拓展提高】
如图③,在平行四边形中,点为的中点,点为上一点,与、分别交于点、,若,则的值为______.
如图,在中,点是的中点,点是的一个三等分点,且.连结,交于点,求的值. |
解:如图①,过点作交于,则,,
∵是的中点,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵是的一个三等分点,且,
∴,
∴,
∴
请你补全余下的证明过程.
【尝试应用】
如图②,在中,为上一点,,连结,若,交、于点、.若,,,则的长为______.
【拓展提高】
如图③,在平行四边形中,点为的中点,点为上一点,与、分别交于点、,若,则的值为______.
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解题方法
3 . 下面是小明同学的作业及自主探究笔记,请认真阅读并补充完整.【作业】如图①,已知正方形中,分别是、边上的点,且.求证:.
证明:如图,将绕点逆时针旋转,得到,则.
四边形是正方形,,
.
.
又,点在一条直线上.
___,___.
【探究】(1)在图①中,若正方形的边长为,,其他条件不变,求的长.
解:正方形的边长为,.
设,则.
在中,由,解得___,即___.
(2)如图②,在四边形中,,是边上的点,且,则___.
(3)如图③,在中,,为边上的高.若,则的长为___.
证明:如图,将绕点逆时针旋转,得到,则.
四边形是正方形,,
.
.
又,点在一条直线上.
___,___.
【探究】(1)在图①中,若正方形的边长为,,其他条件不变,求的长.
解:正方形的边长为,.
设,则.
在中,由,解得___,即___.
(2)如图②,在四边形中,,是边上的点,且,则___.
(3)如图③,在中,,为边上的高.若,则的长为___.
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4 . 【综合与实践】
问题情境:
如图1,在中,,为钝角,点D是的中点,于点E,于点F.试判断线段与的数量关系,并说明理由.
探究展示:
小宇同学展示出如下正确的解法:
解: 1 (填写和的数量关系),理由如下:
点D是的中点,
是边上中线,
,
是的角平分线.( 2 )(填写结论依据)
,,
.
反思交流:
(1)完成上面解题过程的两个填空:①:____________________;②____________________;
(2)利用上述结论请继续探究线段与的数量关系,并说明理由;
(3)如图2,在图1的条件下,点M是射线上一点,作,射线交线段于点N,求线段、和之间的数量关系,并说明理由.
问题情境:
如图1,在中,,为钝角,点D是的中点,于点E,于点F.试判断线段与的数量关系,并说明理由.
探究展示:
小宇同学展示出如下正确的解法:
解: 1 (填写和的数量关系),理由如下:
点D是的中点,
是边上中线,
,
是的角平分线.( 2 )(填写结论依据)
,,
.
反思交流:
(1)完成上面解题过程的两个填空:①:____________________;②____________________;
(2)利用上述结论请继续探究线段与的数量关系,并说明理由;
(3)如图2,在图1的条件下,点M是射线上一点,作,射线交线段于点N,求线段、和之间的数量关系,并说明理由.
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5 . 问题解决:
(2)如图2,分别为的中点,则_________.
(3)如图3,分别为的中点,若,则_________.
问题探究:
(1)如图4,是的中线,交于点与相等吗?
解:中,由问题解决的结论可得,.
∴
∴
即.
(2)如图5,中,是上的一点,是的中线,且,试求的值.
问题拓展:
如图6,中,平分,则_________.
(2)如图2,分别为的中点,则_________.
(3)如图3,分别为的中点,若,则_________.
问题探究:
(1)如图4,是的中线,交于点与相等吗?
解:中,由问题解决的结论可得,.
∴
∴
即.
(2)如图5,中,是上的一点,是的中线,且,试求的值.
问题拓展:
如图6,中,平分,则_________.
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名校
6 . (1)感知:如图1,点A的坐标为,点B的坐标为,那么线段的长度如何计算呢?我们可构造,则等于A,B两点间的水平方向距离,即,等于A,B两点间的竖直方向距离,即,再由勾股定理可以求出_________.
(2)理解:如图2,点D的坐标为,点E的坐标为,求的长;
(3)应用:在(2)的条件下,点E以点D为中心旋转,当点E的对应点落直线上时,直接写出点的坐标为_________.
(4)拓展:在(2)的条件下,点E以点D为中心,顺时针旋转得到点F,直接写出点F的坐标为_________.
(2)理解:如图2,点D的坐标为,点E的坐标为,求的长;
(3)应用:在(2)的条件下,点E以点D为中心旋转,当点E的对应点落直线上时,直接写出点的坐标为_________.
(4)拓展:在(2)的条件下,点E以点D为中心,顺时针旋转得到点F,直接写出点F的坐标为_________.
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2023-10-23更新
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96次组卷
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2卷引用:辽宁省沈阳市第四十三中学2023-2024学年八年级上学期第一次数学月考试题