1 . 【初步尝试】
已知：如图1，在四边形中，，，，点为的中点，和相交于点．求的面积．

小丽同学的思路是这样的：建立适当的“平面直角坐标系”，写出图中一些点的坐标．根据“一次函数”的知识求出点M的坐标，从而可求得的面积．
解：建立如图2所示的平面直角坐标系，由题意可知，，，，．
设，．
（请完成小丽的解答过程）
【问题联想】
已知：如图3，在四边形中，，，，对角线、交于点，．求的面积．
【深度思考】
已知：如图4，中，，，，将斜边所在直线绕点逆时针旋转与射线交于点，求的长．

2 . 已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(a，b)，且a，b满足．

(1)求a，b的值；
(2)如图（1），AB⊥y轴于点B，点C，E分别在线段OB，AB上，点D在x轴正半轴上，连接DE交AO于点F，若EC⊥CD，EC＝CD，求证：F是AO的中点；
(3)如图（2），过A点的直线MN分别交x轴，y轴于点M，N，将一块直角三角板的直角顶点放在A点处，其两条直角边分别交x轴，y轴于点P，Q，设△APM与△ANQ的面积之和为S．试猜想AM，AN，S的数量关系，并证明你的结论．

3 . 已知，如图1，在平面坐标系中，，、点分别为、轴负半轴上的动点，，垂足为．           
   
(1)直接写出与间的数量关系；
(2)当、在、轴负半轴上运动时，线段与之间总存在某种固定的数量关系，请写出这种数量关系，并说明理由．
(3)如图2，为第二象限边上方一点，过作于，，连，并取中点，连、，试探究线段与间的关系，写出结论，并说明理由．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，其中，点和点分别是延长线和反向延长线上的点，，于点，直线交轴于点，直线交于点．

(1)求证：平分；
(2)试判断与之间的数量关系，并说明你的理由；
(3)若，则点是的中点吗？为什么？

5 . 如图1，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，．

(1)求的值；
(2)延长交正方形外角平分线于点（如图2），试判断与的大小关系，并说明理由；
(3)若将“边长为5的正方形”改为“长为，长为，的矩形”，其他条件不变，试判断与的大小关系，并说明理由．

6 . 如图，正方形的边长为，将正方形绕点顺时针旋转到正方形，其中，与相交于点.
   
(1)如图①，求证：.
(2)如图②，当是中点时，
①求的大小.
②求的长.

7 . 如图，A、 B分别是的边 、上的点，，垂足分别为 C、D，与交于点P. 当时，点P在的平分线上吗？证明你的结论.
   

8 . 如图1，在矩形中，E为延长线上一点，且，交于点F，．
   
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，G为上一点，，相交于点O，连接．若，且，求的长．

9 . 在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴和y轴的正半轴上，点C和点D分别在第一象限和第四象限内，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接和，点E是中点，连接、、，若，，与相交于点F，；求四边形的面积；
(3)如图3，在（2）的条件下，，，，过点M作轴，，点Q在的延长线上，与交于点N，连接，若，的面积等于四边形的面积，求点Q的坐标．

10 . 如图：已知，直线解析式为与x、y轴交于C，B两点．

(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点E在线段上，D在线段的延长线上，且，M为线段上一点，当点M，E，D构成以M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点D的坐标；
(3)如图2，以点A为中心，顺时针旋转得，点O，B分别对应点H，Q，N为线段的中点，请直接写出面积的最大值．