1 . 如图1，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，．

(1)求的值；
(2)延长交正方形外角平分线于点（如图2），试判断与的大小关系，并说明理由；
(3)若将“边长为5的正方形”改为“长为，长为，的矩形”，其他条件不变，试判断与的大小关系，并说明理由．

2 . 如图1，在矩形中，E为延长线上一点，且，交于点F，．
   
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，G为上一点，，相交于点O，连接．若，且，求的长．

3 . 如图，在正方形中，，点P是CD边上的一点（点P与点C、D不重合），连接，点M、N分别在、边上，．

(1)如图1，判断线段、的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当恰好经过正方形的中心O时，求四边形的面积；
(3)如图3，当恰好经过线段的中点E时，则点为何值时，四边形的面积最大？

4 . 如图，D是内一点，P是边上一点，和均为等腰直角三角形，其中，，，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)若，则求的面积的最大值．

5 . 已知E是矩形的边上的一点．

   

(1)如图，若四边形是正方形，交于点，求证；；
(2)已知，，分别交，于，两点，且平分矩形的面积．
如图2，若，求的长；
如图3，与交于点，连接，求出线段长的最小值．

6 . 如图，在正方形中，点在延长线上，点在上，连接，且．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点A作平分交于点，连接，过点作交于点分别交于点，请直接写出图中始终与相等的角（除外）

7 . 内接于，是的直径，垂直于的平分线于点E．
   
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点C作交于点D．求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，M为中点，延长交于点N，连接，若，求的值．

8 . 如图，在⊙中，是直径，点是⊙上一动点，连接,沿将翻折，交过点的切线于点，交⊙于点．
   
(1)求
的度数；
(2)若
半径为7，
，求
．

9 . 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点．

(1)用直尺和圆规完成下面的作图，过点C作AC的垂线，与OE的延长线交于点F，连接FD：（只保留作图痕迹）
(2)求证：四边形OCFD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是菱形．
∴，
∴，
又∵，
∴
∴
∴
∴___________①___________，
∵E是CD中点，
∴___________②___________，
在△ODE和△FCE中，

∴，
∴___________③___________，
∵
∴四边形OCFD是平行四边形，
又∵___________④___________，
∴四边形OCFD是矩形．

10 . 如图，在同一平面内，小颖同学用一个含有的直角三角板靠紧墙角两边滑动，经过她的研究发现：①点C到墙壁、地面的距离总能保持相等；②斜边的中点O到两直角顶点的距离也能保持相等．（其中、、）作于E，于F，请根据下面问题给出你的解答：
   
(1)求证：．
(2)求证：四边形是正方形．
(3)连接，求证：．
(4)当、时，求三角板的直角边的长．