1 . 如图，在同一平面内，小颖同学用一个含有的直角三角板靠紧墙角两边滑动，经过她的研究发现：①点C到墙壁、地面的距离总能保持相等；②斜边的中点O到两直角顶点的距离也能保持相等．（其中、、）作于E，于F，请根据下面问题给出你的解答：
   
(1)求证：．
(2)求证：四边形是正方形．
(3)连接，求证：．
(4)当、时，求三角板的直角边的长．

2 . 填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
已知：如图，中，D、E分别为、的中点，求证：．
证明：∵（ 　     　），
∴（ 　              　），
∵E为的中点（已知），
∴ （ 　        　），
在与中，
，　       　＝　       　，，
∴（ 　      　），
∴（ 　              　），
∵D为的中点，
∴（中点的定义），
∴（ 　       　）．
   

3 . 如图，在中，平分，，，则与之间的大小关系是（　　）
   

A．

B．

C．

D．无法确定

4 . （1）【问题原型】如图①，在正方形中，点分别在边，上，且，点为，的交点，求证：．
（2）【探究发现】某数学兴趣小组，在尝试对上述问题进行变式，转换了问题的背景图形：如图②，在等边中，点，分别在边，上（不与三角形顶点重合），且，点为，的交点，请画出图形并求的度数．
（3）【拓展提升】利用【探究发现】的思路及结论，继续探究，尝试解决如下问题：
如图③，在菱形中，，点分别在边，上，且，，点为，的交点，求的度数．

5 . 如图，在扇形 中， 的长为 ，，点 为 的中点，点 ， 分别在半径 ， 上，点 ， 在 上，四边形 为矩形，连接 ，．

(1)求证：；
(2)设 ，矩形 的面积为 ，求 关于 的函数解析式及其定义域；
(3)连接 ，当 的正切值为 时，求 的长．

6 . 如图，、、三点在一直线上，分别以、为边在同侧作等边和等边，交于点，交于点．
   
(1)吗？吗？请说明理由．
(2)如图2，若、、不在同一直线上，那么这时上述结论成立吗？若成立请证明．
(3)在图1中，若连接、，你还能得到什么结论？（写出结论，不需证明）

7 . 如图：在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交与，两点，直线与直线交于点．
   
(1)求点坐标；
(2)在轴上有一点，在的右侧，若；求点坐标；
(3)在第（2）小题的条件下，点为轴正半轴上一点，且，若在轴上存在一个点，使得是等腰三角形，直接写出点坐标．

8 . 证明体验
（1）如图1，在中，点在边上，点在边上，，，与相交于点．求证：．
思考探究
（2）如图2，在（1）的条件下，过点作的平行线交于点，若，，求的长．
拓展延伸
（3）如图3，在四边形中，对角线与相交于点，，，，，求的长．

9 . 如图，是正方形，是的直径，点E是上的一动点（点E不与点B，C重合），连接．

(1)若，求的度数；
(2)若为的切线，连接交于点F，求证：；
(3)若，过点A作的垂线交射线于点M，求的最小值．

10 . 如图，的半径为2，将的直径绕点B顺时针旋转得到线段，与交于点F，过点C作于点D，连接．
当时，的长度为________；
当时，的长度为__________．