1 . 如图1，在中，，点B关于直线的对称点为D，连接，，以A点为顶点作，角的两边分别交，于点M，N．

(1)求证：；
(2)如图2，若的两边与，的延长线分别相交于M，N两点，（1）的结论还成立吗？请说明理由．

2 . 如图，有一条河流（假设河流两岸平行，即），由于河水湍急，无法下水，为了测量河的宽度，林师傅给出了以下方法：

   

在河岸上确定点A（如图），利用红外线光束，在河岸上确定点，使得与河岸垂直；
从A点沿河岸向东直走，记为点（如图），继续向东直走，到达点；
从点沿垂直河岸的方向行走，行走过程中，用红外线光束一直对准，当点刚好出现在红外线光束上时，停下，记为点；
测得的长为．
(1)根据上述方法，河流的宽度为______ m；
(2)请你根据林师傅的方法，利用三角板和刻度尺，在图中画出，，的位置，并结合题意说明林师傅作法的科学性．

3 . 如图1，已知在中，，，直线经过点，于，于，且 ，，．
       
(1)求证：；
(2)若将直线绕点旋转到如图的位置，其它条件不变，中的结论是否仍然成立若成立，请说明理由，若不成立，请写出新的数量关系，并给予证明；
(3)若 ，请利用图证明：．

4 . 在中，，是中线，以为边在右侧作等边三角形．

(1)如图（1），连接，交于点F．
①若，求；
②求证：．
(2)如图（2），当时，以为边在下方作等边三角形，连接交于点P．求证：点P是的中点．

5 . 如图①，在正方形中，点，分别在，边上，，，垂足为，过点作，交于点.

(1)求证：；
(2)求的值（用含的代数式表示）；
(3)如图②，当时，连接并延长，交于点，求证：.

6 . 在小学，我们已经认识了正方形，知道它的对边平行，四条边相等，四个角都是直角，我们可以利用这些性质解决几何问题．如图1，在正方形中，点在上，点在的延长线上，．

(1)证明：；
(2)证明：；
(3)连接（如图2），若，，，请利用图形验证勾股定理．

7 . 如图1，若P是内部一点，且，则称点P为的布洛卡点，同时称为的布洛卡角．布洛卡点的发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．

(1)如图2，P为等边三角形的布洛卡点，求的布洛卡角的度数；
(2)如图3，在中，，P是内部一点，且，．
①求证：P为的布洛卡点；
②若，延长交于点D，求证：D是中点．

8 . 已知在正方形中，点是边的中点，，交对角线于点，

(1)如图1，取的中点，连结、、，求证：；
(2)如图2，是由沿射线平移得到的，点与点A重合，点M为的中点，连结交于点H；
①若．求的长；
②连结，，求证：是等腰直角三角形．

9 . 在等边中，点和点分别在边，上，以为边向右作等边，连接．

(1)如图1，当点和点重合时，求的大小；
(2)如图2，点是边的中点．
①求证：；
②如图3，连接，当最小时，过点作的垂线交于点，求的值．

10 . 如图，平面直角坐标系中有点和轴上一动点，

(1)当时，以AB为其中一边作等腰直角，请画出图形，并直接写出C点的坐标；
(2)动点B在运动的过程中，若，以为斜边，在第二象限作等腰直角，设点C的坐标为，试写出x与y之间的数量关系以及x的取值范围，并说明理由．