1 . 如图，在中，，过点A作，点D在上，作，交延长线于点P．

(1)证明：；
(2)证明：；
(3)如图2，当，为角平分线，，将绕点P顺时针旋转得线段，求面积．

2 . 如图，在正方形中，，点P是CD边上的一点（点P与点C、D不重合），连接，点M、N分别在、边上，．

(1)如图1，判断线段、的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当恰好经过正方形的中心O时，求四边形的面积；
(3)如图3，当恰好经过线段的中点E时，则点为何值时，四边形的面积最大？

3 . 如图，平面直角坐标系中，点，直线与坐标轴交于点E、C，点P在x轴的正半轴上，点Q为射线上的一个动点，连接．当为等腰直角三角形时，点P的坐标为 _____．

4 . 如图，D是内一点，P是边上一点，和均为等腰直角三角形，其中，，，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)若，则求的面积的最大值．

5 . 请在下面的四个等式中选出两个作为条件，然后证明是等腰三角形．
①，
②，
③，
④．
你选择的条件是___________（只填写序号），
证明：

6 . 已知E是矩形的边上的一点．

   

(1)如图，若四边形是正方形，交于点，求证；；
(2)已知，，分别交，于，两点，且平分矩形的面积．
如图2，若，求的长；
如图3，与交于点，连接，求出线段长的最小值．

7 . 阅读材料：小明遇到这样一个问题，如图1，点E，F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由．
小明通过探究，为同学们提供了解题的想法：延长至点G，使（如图2），通过两次三角形全等即可证明．
   
(1)请沿着小明的思路完成本题的证明思路；
参考小明同学思考问题的方法，解决下面两个问题
(2)如图，在四边形中，，点E，F分别在边上，，，探索并证明之间的数量关系．
   
(3)如图，在中，，点D，E均在边上，且，探素并证明，，则__________（直接写出答案）．
   

8 . 如图，点P是平行四边形内一点，，连接
   
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，在（1）的条件下，若的面积与的面积的比是，且，求平行四边形的面积；
(3)如图3，在（1）的条件下，若，求的长．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，．
   
(1)求出点坐标；
(2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正半轴运动，同时点从点出发，以相同速度沿轴向左运动，连接，过点作交直线于点，连接，设点的运动时间为，请用含的式子表示的面积；
(3)在(2)的条件下，直线与直线交于点，当时，求点坐标．

10 . 已知中，，过点的直线交轴于，其中是方程组的解，
   
(1)求的值
(2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动，运动时间为秒；请用含的式子表示线段的长度；并直接写出此时的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当为何值时，直线与直线互相垂直．