1 . 平面直角坐标系中点的坐标为，连接，过点做轴于点．

(1)如图，点是上一点，（不与点、重合）作轴于点，轴于点．则；
(2)如图，将图中的绕着点旋转，使的一条边经过点，另一条边交轴于点．则和的数量关系是______；______度．（直接写出答案）
(3)如图，在图的条件下以，为邻边作矩形，连接，则
①矩形一定是正方形，理由：______．（用文字叙述）
②在①的条件下当时，求的长度．

2 . 如图在正方形中，E是对角线上的一动点（不与点B，D重合），连接，过点E作交射线于点F，接．

(1)发现问题：如图1，当点F落在边上时，和的数量关系是       ．
(2)探究问题：如图2当点F落在边的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请判断并说明理由．
(3)拓展应用：当点E在射线上运动，且时，求的面积．

3 . 【问题探究】
（）如图，已知点与点关于对称，则_______；（填“”“”或“”）
（）如图，在菱形中，点是上的点，连接；将沿翻折得到，点的对应点恰好落在边上，延长，交的延长线于点．若菱形的边长为，，求的长；
【问题解决】
（）如图，某地有一块形如平行四边形的空地，已知，，，园林规划局计划在这片空地上开垦出一片区域，用于种植珍稀树苗，且用栅栏保护．根据规划要求，点在线段上，点在线段上，且点与点关于对称，点在线段上，，求栅栏的长（即四边形的周长）．

4 . 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究：
在 中, 点P 是边上任意一点，连接．把边沿直线翻折得线段，过点B 和点 E 的直线与的延长线相交于点 D，连接．

【探究一】如图1，若 则：
①的度数是         ；
②试探究线段之间的数量关系，并说明理由；
【探究二】如图2，若 ，试探究线段之间的数量关系，并说明理由；
【拓展运用】在图2中，若，求的值．

5 . 如图，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点，在上取点，使得，连接．
设，给出下面三个结论：
①；
②；
③．
上述结论中，所有正确结论的序号是（       ）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

6 . 在查阅勾股定理证明方法的过程中，小明看到一种利用“等积变形一同底等高的两个平行四边形的面积相等”证明勾股定理的方法，并尝试按自己的理解将这种方法介绍给同学．

(1)根据信息将以下小明的证明思路补充完整：
①如图1，在中，，四边形，四边形，四边形都是正方形．延长交于点M，过点C作交的延长线于点N，可得四边形的形状是_________；
②在图1中利用“等积变形”可得_________；
③如图2，将图1中的四边形沿直线向下平移的长度，得到四边形，即四边形；
④设交于点T，延长交于点H，在图2中再次利用“等积变形”可得_________，则有_________．
⑤同理可证，因此得到，进而证明了勾股定理．
(2)小芳阅读完小明的证明思路后，对其中的第③步提出了疑问，请将以下小明对小芳的说明补充完整：图1中__________________，则有_________，由于平行四边形的对边相等，从而四边形沿直线向下平移的长度，得到四边形．

7 . 在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴正半轴上的点与y轴正半轴上的点，如果坐标平面内存在一点N，使得，且，那么称点N为M关于P的“垂转点”．例如图1，已知点和点，以为腰作等腰直角三角形，可以得到M关于P的其中一个垂转点．如图2，如果关于y轴上一点P的垂转点N在一次函数的图象上，那么垂转点N的坐标为________．

8 . 【问题提出】
（1）如图1，在和中，，边与在一条直线上，于点，若，，则的长为______．
【问题探究】
（2）如图2，点为正方形的对角线的中点，点为上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接，试判断是否为等腰直角三角形，并说明理由；
【问题解决】
（3）为实现全民健身的需要，某房地产商在进行居民小区设计时考虑在小区内修建一个室内健身中心．如图3，矩形是该居民小区的一块空地，点为矩形空地的对称中心，为该矩形空地的对角线，经测量，米，，房地产商计划在上取一点（不与端点重合），的延长线上取一点，将区域修建为室内健身中心，根据规划要求，，设的长为米，室内健身中心（）的面积为平方米．
①求与之间的函数关系式；
②按照设计要求，发现当的长度为80米时，整体布局比较合理，试求当米时，室内健身中心（）的面积．

9 . 如图，在正方形中，是边上一点，过点作交边于点．

(1)求证：；
(2)直接写出，与的数量关系；
(3)如图，连接．
如图，若，求证：；
如图，若，，求的长．

10 . 综合与探究：
在矩形中，，，点，分别在边，上，将沿直线折叠，点的对应点为点．

   

(1)如图1，当点与点重合，点落在上时，求的长；
(2)如图2，当点是的中点，且时，连接，求的长；
(3)如图3，当，点恰好落在上时，延长交于点，直接写出的长．