1 . 如图1，在中，求作菱形，使其面积等于的面积的一半，且点E，F，G，H分别在边，，，上．

   

小明的作法 ①如图2，连接，相交于点O． ②过点O作直线，分别交，于点F，H． ③过点O作l的垂线，分别交，于点E，G． ④连接，则四边形为所求作的菱形．

(1)小明所作的四边形是菱形吗？为什么？
(2)四边形的面积等于的面积的一半吗？请说明理由．

2 . 下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．

【作业】如图①，已知正方形中，分别是、边上的点，且．求证：．
证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到，则．
四边形是正方形，，
．
．
又，点在一条直线上．
＿＿＿，＿＿＿．
【探究】（1）在图①中，若正方形的边长为，，其他条件不变，求的长．
解：正方形的边长为，．
设，则．
在中，由，解得＿＿＿，即＿＿＿．
（2）如图②，在四边形中，，是边上的点，且，则＿＿＿．
（3）如图③，在中，，为边上的高．若，则的长为＿＿＿．

3 . 如图，为一面墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度小航设计的方案如下：

①测量的角度；②使梯子缓慢下滑，使得∠___________=，标记此时梯子的底端点D；③此时___________的长度即为梯子顶部A距离地面的高度．
(1)补全设计方案，并说明小航设计方案的正确性；
(2)测得，，求梯子下滑的高度.

4 . 我们将抛物线 与抛物线称之为“轮换抛物线”．例如：抛物线 与抛物线 就是一组轮换抛物线．已知抛物线 其轮换抛物线记作．

(1)若与交于y轴上的同一点M，求a的值；
(2)在（1）的条件下且，抛物线与其轮换抛物线的另一个交点记作 N点，若将点M绕点N顺时针旋转后，M的对应点 P 恰好落在抛物线的图象上，求出此时b的值；
(3)小明同学阅读了《苏科版（数学）》课本九年级下册页《数学实验室》介绍的用几何画板画二次函数图象内容后，自己动手画了抛物线 及其轮换抛物线的图象，与与y轴的交点分别记作P、Q（P、Q两点不重合）．小明发现，不论a、b为何值时，两抛物线始终有一交点G点在与x轴垂直的某一固定直线上运动．若记求S的最大值．

5 . 如图，在平面直角坐标系中，顶点，在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，，垂足是D，交于点E，，．请解答下列问题：

(1)求点B、点C的坐标；
(2)求线段的长；
(3)连接．若，在坐标轴上是否存在点F，使？若存在，请直接写出点F的个数和其中一个点F的坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 在中，点为边的中点，过点的动直线可绕点旋转，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点．

(1)当直线经过点时，如图1，写出线段与的之间的数量关系，并给出证明；
(2)当直线旋转到如图2、图3的位置时，线段之间分别有怎样的数量关系，写出你的结论，并给出证明．

7 . 在中，，、相交于点F，，，，，若，则______．
   

8 . 如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．
   
(1)求证：△△．
(2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明）
(3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形．

9 . 如图，小庆为了测量一栋居民楼的高度，借助高为8米的竹竿，在空地选定一点 P，使得点P到楼的距离等于竹竿的高度，图中各点均在同一竖直平面内，小庆测得，竹竿与楼之间距离米，请根据测量数据计算楼的高度．

10 . 在数学活动课上，小丽将两副相同的三角板中的两个等腰直角三角形按如图1方式放置，使的顶点D与的顶点C重合，在绕点C的旋转过程中，边、始终与的边分别交于M、N两点．

(1)老师提了一个问题：试证明．
小丽开动脑筋，作了如下思考：考虑到且，可将绕点C顺时针旋转至位置，连结，若能证明、分别等于的另两边则可以解决问题．
请帮小丽继续完成证明过程．
证明：将绕点C顺时针旋转至位置，连结；
(2)如图2，小昆另取一块与相同的三角板，放在位置，边与边相交于点H，连、．
①小昆猜想：，请帮他给出证明；
②图2中始终与相等的线段有          ；
③请探索、、之间的数量关系，并直接写出结论：           ．