1 . 学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现．连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：

(1)用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点（只保留作图痕迹）
(2)已知：在四边形中，，为中点，为中点
猜想：，且．
证明：是中点，①______
，
在和中
，

，
在中，是中点，是中点
且③______．


请你根据该探究过程完成下面命题：
连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④______．

2 . 如图，在中，点E在边上，连接．

(1)利用尺规作图，在边求作一点F，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，证明：四边形为菱形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴______________________，．
∵，
∴（）．
∴，______________________．
∵，
∴，
∴______________________
∵，
∴四边形是平行四边形（______________________）．（填推理依据）
∵，
∴四边形是菱形（______________________）．（填推理依据）

3 . 如图，在中，点是边上一动点，连接．

(1)如图1，点是边上一点，连接，若，平分，．当，时，求线段的长度；
(2)如图2，，当且时，将线段绕着点逆时针旋转到，使，连接，过点作于点，点为边中点．连接并延长交的延长线于点，且交于点．若，求证：；
(3)如图3，当，时，将线段绕着点顺时针旋转到，是边上一点且，连接、．为直线上一动点，当点、、在同一直线上时，将沿直线翻折到同一平面的，连接、．当最小时，直接写出的面积．

4 . 在中，于E，于D，交于F，平分交延长线于M，连接，．若，，，则______．

5 . 某学习小组在学习了正方形的相关知识后发现：正方形对角线上任意一点与正方形其他两个顶点相连形成的线段一定相等、该学习小组进一步探究发现：若过该点作其中一条线段的垂线与正方形的两边相交形成的较长线段和前面形成的两条线段也有关系，请根据下列探究思路完成作图和填空：
(1)尺规作图：过点作，分别交边于点．

(2)已知：在正方形中，点是对角线上一点，，分别交边于点．求证：
证明：四边形是正方形
平分．
①          ．
在和中，

．
，
又，
，
，
②          ．
，且
．
③          ，
．
④          ．
．

6 . 学习了菱形后，小美进行了拓展性研究，她发现：菱形对角线将菱形分成四个三角形，在其中一组相对三角形中，作一组对应锐角的角平分线与所对的对角线相交，那么以这两个交点为端点的线段被菱形另一条对角线垂直平分．她的解决思路是：通过证明对应三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：

用直尺和圆规，作的角平分线交于点（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形是菱形，是对角线，交于点，平分，
平分．
求证：，．
四边形是菱形   ，，   ．
平分   _①_．
平分   ．   _②_．
在与中      _③_．
又   ．
小美再进一步研究发现：分别连接这两个交点与菱形另一对角线的两个端点所形成的四边形是_④_．

7 . 如图，在中，，，过点C作，连接．

   

(1)基本尺规作图：作，交线段于点F（保留作图痕迹）；
(2)求证：．
解：∵
∴___①___（___②___）
∵
∴
在和中

∴
∴（___④___）

8 . 如图，在中，是的角平分线，过点作射线．

(1)用直尺和圆规完成以下基本作图：在的下方作，射线交于点．（保留作图痕迹，不写作法和结论）
(2)在（1）所作图形中，若，求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵，
①
在中，，
，
，
，
②
是的角平分线，
，
③
，
④
在和中，
，
（ ⑤ ）

9 . 已知菱形的面积为，且，连接对角线，相交于点O，点E是边上一点，连接交于M．

   

(1)如图1，当，求的长；
(2)如图2，将绕点A顺时针旋转，点E对应点F，连接交于点G，连接，求证：；
(3)如图3，将沿射线方向平移，得到，连接，，请直接写出的最小值．

10 . 如图，四边形是矩形，为上一点，．

(1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为（只保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，为了证明，小马同学的想法为：先证明．再利用矩形性质，得到结论，请根据小马同学的想法完成下面的填空．
证明：四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴      ，
∵，
∴      ，
又∵，
∴③      ，
∵，
∴，
∴      ，
∴．