1 . 如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C为x轴正半轴上一点，且，直线过点C且与y轴交于点D，与直线l₁交于第二象限内的点E，已知点E到x轴的距离为．

(1)求点D的坐标；
(2)如图2，在直线上存在一点M，使，求出点M的坐标；
(3)如图3，将绕点O逆时针旋转得到，点P为直线上一动点，点Q为x轴上一动点，连接，，，当为以为腰的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标．

2 . 在等腰直角中，，过点作于为线段上的一动点，连接．

(1)如图1，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，当点三点共线时，与交于点，若，求的长；
(2)如图2，延长至点交的延长线于点，且，过点作分别交，于点，且，过点作交于点．求证：；
(3)若为的部任意一点，，过点作于点于点，连接，若，求的最小值．

3 . 如图，四边形是矩形，延长至点，点是边上一点，．
   
(1)尺规作图：在射线上截取，过点作的垂线交于点．（只保留作图痕迹）
(2)证明．将下面的过程补充完整．
证明：四边形是矩形




①______
于点

②______
又③______
（④______）

4 . 如图，在四边形中，是对角线．
(1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线分别交于点，．连接．（只保留作图痕迹）

(2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空）
证明：垂直平分
①　　　　　，

②　　　　　


④　　　　　
四边形为菱形（两条对角线互相垂直平分的四边形为菱形）
在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤　　　　　．

5 . 如图，已知四边形中，为边上一点，连接，，．

(1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点作的垂线交于（保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，，为的角平分线．
求证：．完成下列填空．
证明：∵，，
①____________，
，
为的角平分线，
，
②____________，
，
，
即：③____________，
∴④____________，
．

6 . 如图，在等腰三角形中，，，点为直线上一点，于点，直线与直线交于点，为直线上一点，且．
   
(1)若为线段上一点，如图1，如果，，，求的长；
(2)若为线段上一点，如图1，求证：；
(3)若为延长线上一点，如图2，求证：．

7 . 在三角形中，，为边上的中线，小明想以为对角线，构造一个平行四边形，做了如下思考：过点B作的垂线，交的延长线于点E，连接，则四边形即为平行四边形．请你按小明的思路进行作图并证明：四边形即为平行四边形（用基本尺规作图，保留作图痕迹，不下结论）．

证明：为边上的中线
∴①
又
∴②

∴③
在与中


∴④
∴四边形ABEC为平行四边形

8 . 如图，在平行四边形中，，．

(1)尺规作图：作的平分线，交于点，交于点(只保留作图痕迹)；
(2)在（1）所作的图形中，求证：．(思路是通过证明两个三角形全等得出对应线段相等，请补全下面的证明过程．
证明：，，
．
．
　　．

．
又，
　　．
．
四边形是平行四边形，
　　，

．
在和中，
，
，
．

9 . 在矩形中，点是边上一动点（不与点重合），连接的延长线交的延长线于点．

(1)如图①．当时，若，求的长；
(2)如图②，连接，与交于点，当时，有，连接，求证：．
(3)如图③，，将沿直线折叠，得到．当射线交线段于点时，连接，当最大时，直接写出的值．

10 . 学习过程中，小胡发现：四边形是平行四边形，平分交于点，若过点作的垂线，交于点，交于点，连接，则必有四边形为菱形．为验证此规律的正确性，小胡思路是：在下图中，过点作的垂线，再通过证明全等得出结论．请完成以下作图与填空：

   

(1)用直尺和圆规在下图的基础上过点作的垂线，交于点，交于点，再连接．（只保留作图痕迹）
(2)求证：四边形为菱形请补全下列过程．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴ ① ，
∴ ② ，
∴．
∵，
∴
∴在和中，

∴（），
∴ ③ ．
∴．
又∵，
∴       ④        
又∵，
∴四边形是菱形．