1 . 如图，中，在平面内将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点D作，分别交、于点E、F，连接．

(1)如图1，若，．求的长度．
(2)如图2，若，求证：．
(3)如图3，在（2）问的条件下，若，点P在射线上运动，当取得最小值为时，在平面内将绕点B逆时针旋转度得到，当点恰好在线段上时，请直接写出的面积的值．

2 . 如图，已知，经过点的直线与x轴交于B点．

(1)求直线的函数表达式；
(2)用尺规作图：经过点A，作直线的垂线，交y轴于点E；
(3)在（2）完成的图中，求证：．

3 . 在中，点D是边上一点，连接．

(1)如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积；
(2)如图2，若，点E在上，满足，过点C作于点C，交的延长线于点F，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，已知，点P，Q分别是线段上的动点，连接，当的最小值是n时，直接写出线段的长．（用含m，n的代数式表示）

4 . 如图：正方形中，直线经过点D，与交于点E，

(1)用直尺和圆规作图：过点C作的垂线，垂足为G，交于点F，（请保留作图痕迹，不要求写作图过程）
(2)同学们作图完成后，通过测量发现，并且推理论证了该结论，请你根据他们的推理论证过程完成以下证明：
如图：已知正方形中，分别是直线，直线被一组对边截得的线段，当时，求证：．
证明：∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ② ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
同学们进一步研究发现，一条直线被正方形的一组对边所截得的线段与另一条直线被正方形的另一组对边所截得的线段垂直时均具备此特征，请你依据题目中的相关描述，完成下列命题：两条直线分别被正方形的一组对边所截，若所截得的线段      ④      ．

5 . 学习了平行四边形后，小庆进行了拓展性探究．他发现，过一个顶点同时向平行四边形的两边作垂线段，如果这两条垂线段相等，那么这个平行四边形是菱形．其解决问题的思路是通过证明平行四边形的一组邻边所在的三角形全等即可得出结论．
请根据他的思路完成以下作图和填空．
用直尺和圆规，过点C作边上的垂线，垂足为点F．（只保留作图痕迹）
已知：如图，在中，于点E，于点F，．

求证：四边形是菱形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴①．
又∵，，
∴．
又∵②，
∴③
∴④．
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．

6 . 在中，，点是边上一动点（点不与点、重合），连接．

(1)如图1，若，求的长；
(2)如图2，将线段绕点顺时针旋转至位置，连接，过点作的垂线交于点，求证：；
(3)如图3，以为直角顶点，在下方作直角，点为的中点，连接，点为的中点，连接，若，直接写出的取值范围．

7 . 如图，矩形中，为其对角线．过点作于点．

(1)用直尺和圆规，作，使，交于点，交于点；
(2)小明思考此时的DF是否会垂直，为了探究这个问题，小明尝试利用证明三角形全等来推导．根据小明的思路，完成以下填空：
证明：∵四边形是矩形，
，①，
．
在和中
∴，
∴③．
∵，
∴④，
，
∴．

8 . 在平面直角坐标系中，已知点，点，连接，平分交于点C，点E为x轴上一动点．
   
(1)如图1，过点E作交于点D，若点D为中点，且，，求的长度；
(2)如图2，连接，过点C作且，交x轴于点F，连接，若，，求的值；
(3)如图3，连接，过点A作交的延长线于点N，交y轴于点M，连接，若，，求证：．

9 . 在 中， 于点，平分，点在上，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，作，交的延长线于点，连接 ，交的延长线于点，若，求的长．

10 . 如图1，为等腰直角三角形，，点D为外一点，连接，过点A作，交于点E，过点D作，垂足为H，．

(1)求证：；
(2)如图2，延长到点G，连接，使得，F为上一点，连接，若．求证：；
(3)如图3，点K在内，连接，当的值最小时，直接写出的值．