1 . 如图，四边形是矩形，为上一点，．

(1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为（只保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，为了证明，小马同学的想法为：先证明．再利用矩形性质，得到结论，请根据小马同学的想法完成下面的填空．
证明：四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴      ，
∵，
∴      ，
又∵，
∴③      ，
∵，
∴，
∴      ，
∴．

2 . 如图，在中，点E在边上，连接．

(1)利用尺规作图，在边求作一点F，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，证明：四边形为菱形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴______________________，．
∵，
∴（）．
∴，______________________．
∵，
∴，
∴______________________
∵，
∴四边形是平行四边形（______________________）．（填推理依据）
∵，
∴四边形是菱形（______________________）．（填推理依据）

3 . 已知菱形的面积为，且，连接对角线，相交于点O，点E是边上一点，连接交于M．

   

(1)如图1，当，求的长；
(2)如图2，将绕点A顺时针旋转，点E对应点F，连接交于点G，连接，求证：；
(3)如图3，将沿射线方向平移，得到，连接，，请直接写出的最小值．

4 . 小明在学习了平行四边形后，对其进行了进一步的研究，发现如果作平行四边形任意一条对角线的垂直平分线，那么这条垂直平分线一定平分这个平行四边形的面积．他的思路是通过全等和图形的拼接得到面积相等．请根据思路完成以下作图与填空：
如图，在平行四边形中，．

(1)尺规作图：作对角线的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
(2)在（1）所作图形中，求证：．
证明：四边形是平行四边形，
∴，，①__________．
垂直平分，②__________．
又③__________，．．
又，
．
同理，，．
小明进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线也有此特征．
请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线④_____________________．

5 . （1）用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，交于点，垂足为点．（只保留作图痕迹）
（2）已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点． 求证：．

证明：四边形是平行四边形，
，
          ①          ，
垂直平分，
         ②         ，
又        ③      ，
（          ④        ），
．

6 . 在中，，．点为内部一点，连接，，．

(1)如图1，若，，求点到直线的距离；
(2)如图2，以为直角边作等腰直角，，线段，交于点，若，求证：；
(3)如图3，点在边上，且，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且满足，连接，当最短时，请直接写出的度数．

7 . 等边中，于点，点为边上一动点，连接，点关于直线的对称点为点，连接．

(1)如图1，点恰好落在的延长线上，则求______；
(2)过点作交于点，连接交于点．
①如图2，试判断线段、和之间的数量关系，并说明理由：
②如图3，直线交于点，连接点运动的过程中．当取最小值时，请直接写出线段的长度．

8 . 在中，，，过点B作直线l，点M在直线l上，连接，且，过C点作交于点N．

(1)如图1，请问和有怎样的数量关系，并证明；
(2)如图2，直线交直线l于点H，求证：；
(3)已知，在直线l绕点B旋转的过程中，当时，请直接写出的长度．

9 . 如图，中，在平面内将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点D作，分别交、于点E、F，连接．

(1)如图1，若，．求的长度．
(2)如图2，若，求证：．
(3)如图3，在（2）问的条件下，若，点P在射线上运动，当取得最小值为时，在平面内将绕点B逆时针旋转度得到，当点恰好在线段上时，请直接写出的面积的值．

10 . 如图，已知，经过点的直线与x轴交于B点．

(1)求直线的函数表达式；
(2)用尺规作图：经过点A，作直线的垂线，交y轴于点E；
(3)在（2）完成的图中，求证：．