1 . 如图1，在正方形中，、分别在上，连接，过点作于点，交于点、且点为线段的中点．

(1)①若，求．
②求证：；
(2)如图2，若点在正方形内，点在正方形外，且，其余条件不变，则还成立吗？说明理由．

2 . 我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形．

(1)下列图形：①有一个内角为的平行四边形；②矩形；③菱形；
④直角梯形，其中对角直角四边形是      （只填序号）；
(2)如图，菱形的对角线，相交于点，在菱形的外部以为斜边作等腰直角，连接．
①求证：四边形是对角直角四边形；
②若点到的距离是2，求四边形的面积．

3 . 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的点，给出如下定义：取点与点，以为直角边作等腰，使，且点C与点P在同一象限内，则称点C为点P的“对应点”，为点P的“对应三角形”
(1)已知点P的“对应点”为点C，
①若点P的坐标为，则点C的坐标为           ；
②若点C的坐标为，则点P的坐标为           ；
(2)已知点，过点P作x轴的垂线l，当直线l恰好将点Р的“对应三角形”的面积分成两个相等的部分时，求m，n满足的数量关系；
(3)已知点，且满足为定值，点C为点P的“对应点”，若的最大值为2，直接写出k的值．

4 . 【建立模型】

如图①，在中，，，直线l经过点A，过点B作，垂足为点D，过点C作，垂足为点E，可以得到结论：．
（1）请证明；
【运用模型】

（2）如图②，在平面直角坐标系中，，，，，则点C的坐标是        ；
（3）如图③，在平面直角坐标系中，，，在第一象限内有一点P，使是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

5 . 在中，，点D在的内部，，．

(1)如图1，线段的延长线交于点E，且．
①求的度数；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，直接写出结果；
(2)如图2，点F在线段的延长线上，连接交射线于点M，且M为的中点．求证：．

6 . 已知：如图，是边长为4的等边三角形，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），是的外角的平分线，以点A为顶点，为一边，作，交射线于点F，连接．下列结论一定成立的是________（只填序号）．
       
点D在线段上       点D在线段的延长线上
①；             ②是等边三角形；
③；             ④的周长的最小值为．

7 . 如图，在中，D是上一点（不与点B，C重合），将沿直线翻折得到，将平移得到（点B与点E为对应点），连接．

   
(1)求证：；
(2)连接，若在点D的运动过程中，始终有，写出需要满足的条件，并证明．

8 . 我们研究了三角形有关边、角和主要线段的性质后，小龙同学给添加一个条件：如图，，小龙同学通过观察、猜想、动手测量，发现始终有，但不能说明道理，请你帮助说明其中的理由．

9 . 综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为_________；
【实践探究】
（2）小容受此问题启发，一般化思考并提出新的问题：如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，求点关于直线的对称点的坐标（用含，的式子表示）；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，提出新的探究点，并进行了探究：如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直接写出点关于直线的对称点的坐标（用含的式子表示）．小博经过探究得出直线上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是，点的纵坐标为，请帮助小博完成问题．

10 . 如图，在等腰直角中，，，点D在射线上，连接．

(1)如图1，当点D在线段上，且与点A，C不重合时，过点A作于点F，过点C作，交线段的延长线于点E．
①请补全图1；
②连接，则　　　　；
③用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
(2)当点D在线段的延长线上时，过点A作于点F，过点C作于点E，直接写出用等式表示的线段，，之间的数量关系．