1 . 如图，在中，点E在边上，连接．

(1)利用尺规作图，在边求作一点F，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，证明：四边形为菱形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴______________________，．
∵，
∴（）．
∴，______________________．
∵，
∴，
∴______________________
∵，
∴四边形是平行四边形（______________________）．（填推理依据）
∵，
∴四边形是菱形（______________________）．（填推理依据）

2 . 从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法，如图1，等腰直角三角形中，，，经过点，过点作于点，过点作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．模型方法可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．

　　　　　　　　　　

　　　

【模型应用】
（1）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点逆时针旋转得线段，求点C的坐标．
（2）如图3，一次函数的图象与坐标轴分别交于点A、B．
①过点B在y轴右侧作，且，连接，则的面积为     ；
②当a的取值变化时，点A随之在x轴上运动．如图4，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值是     ．
【模型拓展】
（3）如图5，在中，，，分别以、为直角边，点为直角顶点，在两侧作等腰直角和等腰直角，连接，交的延长线于点，则的长为      ．

3 . 已知，如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B的坐标分别为，且a、b的值为方程的两个解，点C在x轴正半轴上，且，点P在x轴上从点B出发沿射线方向运动，运动速度为2个单位长度/秒，运动时间为t秒；

(1)求点C的坐标；
(2)如图2，当点P在线段上时，连接，将线段绕点P顺时针旋转至（点A与点E对应），连接，当轴时，求此时t的值；
(3)如图3，当动点P在线段上时，以为邻边构造平行四边形，连接，将沿折叠得到（点F与点B对应），当点F恰好落在线段上时，过点P作于点Q，求线段的长．

4 . 如图1，正方形中，点P在边上，连接，点M在边上，连接，且；

(1)求证：；
(2)如图2，延长到点Q，使，作，且，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点E，若点E是中点，，求的长.

5 . 如图①正方形中，M是中点，E是延长线上一点，交的平分线于N，在上截取，，连结，易证

(1)如图②当点M是边上任意一点时的结论是什么？
(2)如图③当点M在的延长线上时，其他条件不变结论又是什么？

6 . 如图1，在正方形中，、分别在上，连接，过点作于点，交于点、且点为线段的中点．

(1)①若，求．
②求证：；
(2)如图2，若点在正方形内，点在正方形外，且，其余条件不变，则还成立吗？说明理由．

7 . 综合应用
综合与实践数学活动课上，王老师给出了一个问题：

(1)如图1，将绕点C顺时针旋转30°，得到，点恰好落在斜边上，连接，则______．
(2)如图2，在中，，，点D，E在边上，，，且，请你求出的长度．
(3)如图3，在四边形中，，，，，，，求线段的长．

8 . 如图1，平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，两点，直线与交于点，与轴交于点．

(1)求点D的坐标；
(2)如图2，是线段上的一个动点（不与点重合），过作的垂线交于点．
①若，求的长；
②若的平分线与射线交于点，，，求关于的函数解析式．

9 . 已知四边形是正方形，点E是射线上一点，连接，点D关于直线的对称点为M，射线与直线相交于点G．

(1)若点M在对角线上，则　　　度；
(2)如图，若E是的中点，试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
(3)若点E在边的延长线上，，求的长．

10 . 如图，为正方形的边所在直线上一点，连接，在上取点，使，过点作，交直线于点，交直线于点．

(1)如图①，当点在的延长线上时，求证：；
(2)当点在线段上或在的延长线上时，如图②、图③，猜想，和之间的数量关系，直接写出你的猜想，不需证明．