1 . 如图，在菱形中，，过点分别作于点，于点，且．

(1)写出之间的数量关系；
(2)如图，当绕着点逆时针旋转到的两边与菱形的两边相交，但不垂直时，写出三者之间的关系，证明你的结论；
(3)如图，当绕着点逆时针旋转到的两边与菱形的两边的延长线相交，但不垂直时，请直接写出三者之间的关系．

2 . 【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，正方形中，E在对角线上，连接，作 交于点 F，求证：．
①如图2，小明同学利用正方形的对称性，给出如下解题思路：连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．
②如图3，小龙同学根据正方形的对角线有关性质，给出另一种解题思路：过E作 于G， 于H，构造全等三角形．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学或转化线段或构造全等三角形，都是利用正方形的相关性质，为了帮助同学们更好地掌握正方形的性质，李老师在图l 中添加条件，并提出下面的问题，请你解答．
如图4，（1）中的条件不变，作 交CD于P，连接，求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在正方形中，将线段绕点A 逆时针旋转得到线段连接，，，当 时，求证：．

3 . 根据所给素材，完成相应任务．

玩转三角板
活动背景	在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1所示，其中，为直角，，，要求两直角顶点重合（A与F重合于点O）进行探究活动．
素材1	小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上．
素材2	小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形．
素材3	李老师提出问题，在上述操作过程中，与的面积比是否为定值？
解决问题
任务1	（1）根据图2，计算线段的长度．
任务2	（2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据：___________． （3）计算的面积．
任务3	（4）请你解答李老师的问题，并说明理由．

4 . 阅读下面的内容：
求证：三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半．
已知：中、分别是、的中点．
求证：，且．
证明：过点作的平行线交的延长线于点，如图所示：

，
，，
又，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，且，
，且．
类似的，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．
如图，梯形中，、分别是腰、的中点，就是梯形中位线．
梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半．
请参考例题证明梯形的中位线性质．
已知：如图梯形中，、分别是腰、的中点．
求证：________________．
证明：_____________________．

5 . 数学实践课上，老师组织同学们开展以“图形的旋转”为主题的探究活动，已知为等腰直角三角形，过点A的直线，射线绕点B旋转交于点M，过点M作，交直线于点N，探究线段和有怎样的数量关系？
(1)特例初探：
如图1，当时，点N与点A重合，猜想线段和间的数量关系，并证明你的结论；

   

(2)规律探究：
如图2所示，当与不垂直时，（1）的结论是否仍然成立？请猜想并证明你的结论；

   

(3)拓展应用：
已知：中，，过点O，E分别作，，垂足分别为O，E，与交于点F，连接，若，．
求：的面积．

   

6 . 小明正在思考一道几何证明题：如图1，在正方形中，点E，F在对角线上，连接，且．求证：四边形是菱形．

小明是这样想的： 第一步：由，，，可证明，得； 第二步：连接（如图2），交于点O，可证得，，进而可得四边形是平行四边形； 第三步：由，四边形是平行四边形，可得四边形是菱形．

请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明．

7 . 一个四边形的模具如图1所示，其中，，，，，按规定这个模具中也应为直角，解答下列问题：

(1)这个模具是否符合规定要求？请说明理由；
(2)如图2，连接，求的长．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的正半轴上，以为邻边作矩形，连接，．

(1)如图，求点的坐标；
(2)如图，点为线段上一点，连接，作垂足为，设点的纵坐标为，线段的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图，在（）的条件下，连接，为轴负半轴上一点，延长至点，连接，点在线段上，连接，，若，，且，求的值．

9 . 在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：

【实践探究】
（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接、，则_________；
【解决问题】
（2）将矩形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接，，．
①如图2，当时，求证：平分；
②如图3，当点F落在上时，连接交于点，则_________；
【迁移应用】
（3）如图4，正方形的边长为5，E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，则_________；
（4）如图5，在菱形中，，是边上一点（不与点C、D重合），连接，将线段绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点．若，则_________．

10 . 如图，四边形是矩形，为上一点，．

(1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为（只保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，为了证明，小马同学的想法为：先证明．再利用矩形性质，得到结论，请根据小马同学的想法完成下面的填空．
证明：四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴      ，
∵，
∴      ，
又∵，
∴③      ，
∵，
∴，
∴      ，
∴．