1 . 综合与实践
如图1是实验室中的一种机械装置，在地面上，所在等腰直角三角形是固定支架，机械臂可以绕点A旋转，同时机械臂可以绕点D旋转，已知，，．

(1)如图2，把机械臂顺时针旋转，点D旋转到点E处，连结，当，
①连接，探究与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②当时，求的长
(2)如图3，机械臂A、D、M三点共线，，此时机械臂顺时针旋转，机械臂一端恰好落在边上，标记为点N，求支架的长．

2 . 在平面直角坐标系中，对于正方形和它边上的动点P，以为斜边作等腰且O，P，Q三点按顺时针排列，则称点Q是点P关于正方形的“相关点”．已知，，，，这里．

(1)如图1，若，当点P在正方形的边上运动时，设点P关于正方形的“相关点”为点Q．
①若点Q恰好也在正方形的边上，这样的点P的个数是_________；
A．0个；B．1个；C．2个；D．4个
②设点P的横坐标为p，求点Q的坐标；
(2)当时，对于正方形和它边上的动点P，则所有点P关于正方形的“相关点”组成图形的面积为_________；
(3)如图2，，，当点P在正方形的四条边上运动时，若线段上有且只有一个P关于正方形的“相关点”，直接写出a的取值范围．

3 . 如图①，正方形中，点O是对角线的中点，点P是线段上（不与A，O，C重合）的一个动点，过点P作且交边（或延长线）于点E．

(1)①如图1，当P在时，直接写出与的数量关系__________；
②如图2，当P在时，请按题意补全图形，判断与的数量关系并说明理由；
(2)如图3，当P在时，若正方形的边长为2，过E作于点F，在P点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；
(3)用等式直接表示线段之间的数量关系．

4 . 如图，在中，，为上的中线，E是的中点，平分于点F，若，求的长度．

5 . 如图，将沿对角线翻折，点B落在点E处，交于点F，若，，则的周长为（     ）

A．

B．

C．

D．

6 . （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E ，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合， 点D的对称点为，若，，求的长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边 ，于点E ，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．

7 . 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接．

(1)求证：；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积．

8 . 如图，在中，且，于点．交的延长线于点．

   

(1)求证：；
(2)连接，交于，若，，求的面积．

9 . 如图，已知正方形的对角线长为8，在正方形内作，交于点E，交于点F，连接，过点A作，将绕点A顺时针旋转得到，则的长为______．

10 . 如图，正方形边长为，点，分别是边，上的动点且，作于点，则的最小值是_____．