1 . 小明正在思考一道几何证明题：如图1，在正方形中，点E，F在对角线上，连接，且．求证：四边形是菱形．

小明是这样想的： 第一步：由，，，可证明，得； 第二步：连接（如图2），交于点O，可证得，，进而可得四边形是平行四边形； 第三步：由，四边形是平行四边形，可得四边形是菱形．

请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明．

2 . 一个四边形的模具如图1所示，其中，，，，，按规定这个模具中也应为直角，解答下列问题：

(1)这个模具是否符合规定要求？请说明理由；
(2)如图2，连接，求的长．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的正半轴上，以为邻边作矩形，连接，．

(1)如图，求点的坐标；
(2)如图，点为线段上一点，连接，作垂足为，设点的纵坐标为，线段的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图，在（）的条件下，连接，为轴负半轴上一点，延长至点，连接，点在线段上，连接，，若，，且，求的值．

4 . 在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴正半轴上的点与y轴正半轴上的点，如果坐标平面内存在一点N，使得，且，那么称点N为M关于P的“垂转点”．例如图1，已知点和点，以为腰作等腰直角三角形，可以得到M关于P的其中一个垂转点．如图2，如果关于y轴上一点P的垂转点N在一次函数的图象上，那么垂转点N的坐标为________．

5 . 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的点，给出如下定义：取点与点，以为直角边作等腰，使，且点C与点P在同一象限内，则称点C为点P的“对应点”，为点P的“对应三角形”
(1)已知点P的“对应点”为点C，
①若点P的坐标为，则点C的坐标为           ；
②若点C的坐标为，则点P的坐标为           ；
(2)已知点，过点P作x轴的垂线l，当直线l恰好将点Р的“对应三角形”的面积分成两个相等的部分时，求m，n满足的数量关系；
(3)已知点，且满足为定值，点C为点P的“对应点”，若的最大值为2，直接写出k的值．

6 . 如图1，正方形中，，．过A点作轴于点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点．

(1)求证：；
(2)求反比例函数的表达式及点E的坐标；
(3)如图2，连接，点P为曲线上一点，过点P作坐标轴的垂线，垂足分别为点M、N，所做的垂线交于点Q、H，当时，探究：与的数量关系，并说明理由；
(4)如图3，过点C作直线，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，顶点，在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，，垂足是D，交于点E，，．请解答下列问题：

(1)求点B、点C的坐标；
(2)求线段的长；
(3)连接．若，在坐标轴上是否存在点F，使？若存在，请直接写出点F的个数和其中一个点F的坐标；若不存在，请说明理由．

8 . 在中，点为边的中点，过点的动直线可绕点旋转，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点．

(1)当直线经过点时，如图1，写出线段与的之间的数量关系，并给出证明；
(2)当直线旋转到如图2、图3的位置时，线段之间分别有怎样的数量关系，写出你的结论，并给出证明．

9 . 综合与实践

数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，E，F分别是上的两点，连接交于点P．     已知，求证：． 甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得．

完成任务：
（1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”）
【发现问题】
同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．

   

【迁移探究】
在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．
甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．
甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立．
（2）①在图2中，已知，求证：；
②在图3中，若，则的度数为________．
【拓展应用】
（3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长．

10 . 如图，在等边三角形中，E为上一点，过点E的直线交于点F，交延长线于点D，作垂足为G，如，，则的长为（       ）

A．

B．

C．

D．