1 . 如图，为等边三角形，，于点，点在线段上运动，当点不与点重合时，过点作的垂线交折线于点，交边于点F，以、为边作矩形，设线段的长为．

(1)线段的长为______；
(2)当点在线段上时，用含的代数式表示线段的长，并直接写出的取值范围；
(3)作点关于直线的对称点，作直线.
当点在边上时，若，求线段的长；
当直线将矩形分成两部分图形的面积比为时，直接写出的值．

2 . 下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．

【作业】如图①，已知正方形中，分别是、边上的点，且．求证：．
证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到，则．
四边形是正方形，，
．
．
又，点在一条直线上．
＿＿＿，＿＿＿．
【探究】（1）在图①中，若正方形的边长为，，其他条件不变，求的长．
解：正方形的边长为，．
设，则．
在中，由，解得＿＿＿，即＿＿＿．
（2）如图②，在四边形中，，是边上的点，且，则＿＿＿．
（3）如图③，在中，，为边上的高．若，则的长为＿＿＿．

3 . 如图①，在中，，，点D是上一点，且．动点F从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向经点B运动，以为边构造等腰直角三角形，其中F为直角顶点，且点E与点B位于线段两侧．设点F的运动时间为t（秒）．
AI   
(1)求线段的长度；
(2)当点E落在的中位线上时，求出t的值：
(3)连接，则线段的最小值是______．
(4)如图②．以点B为位似中心，将缩小后得到，且．连接，当与的某条边平行时，直接写出t的值．

4 . 【感知】如图①，若，易证（不用证明）；
【探究】如图②，正方形和正方形的边在同一条直线上，点在上，相交于点，求证：；
【应用】如图③，在“探究”的条件下，连接，若，则_______．

5 . 在半径为2的中，为的直径，点从点A出发，顺时针在圆周上以为每秒个单位的速度运动，当点重新回到点A处时停止运动，设点的运动时间为秒．

   

(1)直接写出劣弧的长与的函数关系式；
(2)当，且时求出的值及此时的面积；
(3)过点作交于点，交于点．

①当或者时，求的值；

②当的面积最大时，直接写出的值．

6 . 如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），顶点为，连接．

(1)直接写出点的坐标______（用含的式子表示）；
(2)求点的坐标；
(3)以为边，在边的右下方作正方形，设点的坐标为．
①当时，求点的坐标；
②当时，直接写出点的坐标；
③直接写出关于的函数解析式及自变量的取值范围．

7 . 【感知】小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：

如图，在中，点是的中点，点是的一个三等分点，且．连结，交于点，求的值．

小明发现，过点作交于，可证明，得到相关结论后，再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程：

解：如图①，过点作交于，则，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的一个三等分点，且，
∴，
∴，
∴
请你补全余下的证明过程．
【尝试应用】
如图②，在中，为上一点，，连结，若，交、于点、．若，，，则的长为______．
【拓展提高】
如图③，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，则的值为______．

8 . 在中，，直线l过点A，且．与关于直线l对称，点B的对称点是点D，与的三边围成的图形记作图形“M”．

(1)如图①，若，则的度数为_______；
(2)如图②，点P在直线l上，且，过点P作，垂足为点F．求证：；
(3)若，将直线l沿着方向向右平移1个单位长度，与、分别交于点F、G．点H在上方的直线l上，且．动点P从点H出发以每秒2个单位长度的速度沿射线向下匀速运动，运动时间为，点P关于直线的对称点为点．
①如图③，若点恰好在边上，连接，则线段的长度为______，______s；
②当点落在图形“M”的内部（不包括边界）时，直接写出t的取值范围．

9 . 【探究】如图①，在中，，点A、D在直线m上，将边绕着点A顺时针旋转得到，过点C作直线m于点E．求证：．
【应用】（1）在【探究】的条件下，若，则BD与CE的和为________；
（2）将一个主视图是五边形ABCDE的零件按图②放置在水平桌面m上，，分别过点A、C、E作于点F，于点G，于点H，经测得，，，，，则五边形ABCDE的面积为________．

   

10 . 如图，是等腰直角三角形，，，于点．点为边上一动点，连接，作，使点在射线上，过点作于点．

(1)的长为          ；
(2)当点在线段上时，求证：；
(3)若将分成面积比为的两部分，求的长；
(4)若的一个内角为，直接写出的大小．