1 . 如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），顶点为，连接．

(1)直接写出点的坐标______（用含的式子表示）；
(2)求点的坐标；
(3)以为边，在边的右下方作正方形，设点的坐标为．
①当时，求点的坐标；
②当时，直接写出点的坐标；
③直接写出关于的函数解析式及自变量的取值范围．

2 . 【感知】小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：

如图，在中，点是的中点，点是的一个三等分点，且．连结，交于点，求的值．

小明发现，过点作交于，可证明，得到相关结论后，再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程：

解：如图①，过点作交于，则，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的一个三等分点，且，
∴，
∴，
∴
请你补全余下的证明过程．
【尝试应用】
如图②，在中，为上一点，，连结，若，交、于点、．若，，，则的长为______．
【拓展提高】
如图③，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，则的值为______．

3 . 在中，，直线l过点A，且．与关于直线l对称，点B的对称点是点D，与的三边围成的图形记作图形“M”．

(1)如图①，若，则的度数为_______；
(2)如图②，点P在直线l上，且，过点P作，垂足为点F．求证：；
(3)若，将直线l沿着方向向右平移1个单位长度，与、分别交于点F、G．点H在上方的直线l上，且．动点P从点H出发以每秒2个单位长度的速度沿射线向下匀速运动，运动时间为，点P关于直线的对称点为点．
①如图③，若点恰好在边上，连接，则线段的长度为______，______s；
②当点落在图形“M”的内部（不包括边界）时，直接写出t的取值范围．

4 . 如图，是等腰直角三角形，，，于点．点为边上一动点，连接，作，使点在射线上，过点作于点．

(1)的长为          ；
(2)当点在线段上时，求证：；
(3)若将分成面积比为的两部分，求的长；
(4)若的一个内角为，直接写出的大小．

5 . 综合与探究
问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动．已知正方形中，，点E是射线上一点（不与点C重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．
特例分析：（1）如图1，当点E与点D重合时，求的度数；
深入谈及：（2）当点E不与点D重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由；
问题解决：（3）如图4，当点E在线段上，且时，请直接写出线段的长．

   

6 . 如图，矩形中，，，P为边中点，，绕点P旋转，其中点E，F在矩形的边上．在旋转过程中，请探究：
   
(1)矩形的边落在内部的线段长的和是否发生变化？为什么？
(2)矩形与重叠部分的面积是否发生变化？为什么？

7 . 如图，在中，已知，，的面积等于10．是边上的一个动点（不与点重合），连接，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、、．
   
(1)当点落在边上时，线段的长为______；
(2)当时，求的面积；
(3)当点共线时，求线段的长；
(4)当为直角三角形时，直接写出线段的长．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在AB的延长线上．过点C作，与y轴交于点D，且．若点D的坐标为，则线段AC的长度为______．

9 . 在四边形中，对角线平分．

【感知】如图①，当时，利用全等知识求证：．
【探究】如图②，当时，求．
【应用】如图③，当，，，于点，则______．

10 . 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点．若二次函数的图象经过点，．

(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数最大值与最小值的差；
(3)在二次函数图象上任取一点，其横坐标为．点在二次函数图象的对称轴上．若以点，，为顶点三角形是以为直角的等腰三角形．求点的坐标．