1 . 角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：
   
【知识回顾】
（1）如图1，是的平分线上的一点，于点，作于点，试证：
【深入探究】
（2）如图2，在中，为的角平分线交于于点，其中，求．
【应用迁移】
（3）如图3，中，的角平分线与的中线交于点为中点，连接，若，则的长度为__________．

2 . 如图1，在菱形中，．等腰的两个顶点E、F分别在上，且，点A、M在的异侧．
   
(1)如图2，当于点时，
①求证：，且点在菱形的对角线上．
②如图3，若交于点H，交于点G，连接．当________________时，四边形为正方形．
(2)如图1，
①判断：点       菱形的对角线上．（填“在”或“不在”）
②若，请求出的取值范围．

3 . 如图1，在中，于D，于E，与相交于点G，．
          


(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)如图2，平分，点为的延长线一点，为上一点，连接，若，，，求线段的长．

4 . 在中，，，点D是AC边上一点，交于点F，交直线于点E．
   
(1)如图1，当D为的中点时，证明：．
(2)如图2，若于点M，当点D运动到某一位置时恰有，则与有何数量关系，并说明理由．
(3)连接，当时，求的值．

5 . 如图，，，点为中点，连接并延长，交于点．
   
(1)当时，求的长度；
(2)如图，将，，的角度都调整为，其余条件不变，求此时的长度；
(3)如图，当，，的角度都变为，其余条件不变，动点在线段上，从点向点运动，动点在线段上，从点向点运动，并且运动速度相同，连接，，探究，的数量关系并说明理由．

6 . 已知平行四边形，E为边上的中点．
   
(1)如图1，若，求证：平分；
(2)若F为边上一点，连接；
①如图2，若，，求；
②如图3，若，请你写出线段之间的数量关系，并证明．

7 . 如图，在中，过点作，且，连接，．
   
(1)用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：过点作，垂足为点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)小明认为，在（1）所作的图形中，若，则点为的中点．
请将小明的证明过程补充完整：
，，
，（①___________，）（填推理依据的一个数学定理）
，
②___________，
，
，（③___________，）（填推理依据的一个数学定理）
在和中，
，
()，
，即点为的中点．

8 . 如图1，在中，，连接，，点E，F分别在边上，分别交于点G，H．将，分别沿直线折叠，使得点B的对应点，点D的对应点都落在对角线上．
   
(1)【尝试初探】求证：；
(2)【深入探究】如图2，若点，恰好分别与点H，G重合，求n的值；
   
(3)【拓展延伸】若，求的值．

9 . 问题探究
（1）如图1所示，在中，，是的高．
求证：①；②．
迁移运用
（2）如图2所示，圆内接四边形中，对角线是直径，，，若，，求．
   

10 . 在平行四边形中，连接，，（）．
   
(1)图1，若，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，点E为上一点，连接，以为腰作等腰，，，若交线段于点F，连接，求证：；
(3)如图3，当，时，点E为上一点，连接，以为腰作等腰，，，然后将沿翻折得到，连接，，．当取得最小值时，请直接写出的周长．