1 . 如图1，已知锐角内接于，P为的内心，连结并延长分别交，于点D，E，连结．

(1)求证：．
(2)若，试求的值．
(3)若将条件“锐角内接于”改为“内接于，为直径”，如图2．过点P作于点F，设的外接圆半径为R，，试问的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

2 . 如图，在中，点是边上一动点，连接．

(1)如图1，点是边上一点，连接，若，平分，．当，时，求线段的长度；
(2)如图2，，当且时，将线段绕着点逆时针旋转到，使，连接，过点作于点，点为边中点．连接并延长交的延长线于点，且交于点．若，求证：；
(3)如图3，当，时，将线段绕着点顺时针旋转到，是边上一点且，连接、．为直线上一动点，当点、、在同一直线上时，将沿直线翻折到同一平面的，连接、．当最小时，直接写出的面积．

3 . 如图1，平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，两点，直线与交于点，与轴交于点．

(1)求点D的坐标；
(2)如图2，是线段上的一个动点（不与点重合），过作的垂线交于点．
①若，求的长；
②若的平分线与射线交于点，，，求关于的函数解析式．

4 . 平面直角坐标系中点的坐标为，连接，过点做轴于点．

(1)如图，点是上一点，（不与点、重合）作轴于点，轴于点．则；
(2)如图，将图中的绕着点旋转，使的一条边经过点，另一条边交轴于点．则和的数量关系是______；______度．（直接写出答案）
(3)如图，在图的条件下以，为邻边作矩形，连接，则
①矩形一定是正方形，理由：______．（用文字叙述）
②在①的条件下当时，求的长度．

5 . 已知菱形中，，点E在边上，作，与相交于点F．与对角线分别相交于点H，G．

(1)如图1，当点E是中点时， ______；
(2)如图2．
①求证：；
②的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．

6 . 如图，点是弦上方上的一个动点，平分交于，交于点．

(1)求证：；
(2)若，求；
(3)的半径为，弦，是的中点，是的中点，记的面积为，的面积为，若，求的长．

7 . 【问题提出】
（1）如图1，在和中，，边与在一条直线上，于点，若，，则的长为______．
【问题探究】
（2）如图2，点为正方形的对角线的中点，点为上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接，试判断是否为等腰直角三角形，并说明理由；
【问题解决】
（3）为实现全民健身的需要，某房地产商在进行居民小区设计时考虑在小区内修建一个室内健身中心．如图3，矩形是该居民小区的一块空地，点为矩形空地的对称中心，为该矩形空地的对角线，经测量，米，，房地产商计划在上取一点（不与端点重合），的延长线上取一点，将区域修建为室内健身中心，根据规划要求，，设的长为米，室内健身中心（）的面积为平方米．
①求与之间的函数关系式；
②按照设计要求，发现当的长度为80米时，整体布局比较合理，试求当米时，室内健身中心（）的面积．

8 . 如图，已知点M在反比例函数位于第二象限的图象上，点N在x轴的负半轴上，连接交该图象于点P，若恰好是以为斜边的等腰直角三角形，给出以下结论：的度数随着k的值的变化而变化；②的面积随着k的值的变化而变化；③；④的面积为．其中正确的有（       ）

A．①

B．①②

C．②③

D．②④

9 . 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的点，给出如下定义：取点与点，以为直角边作等腰，使，且点C与点P在同一象限内，则称点C为点P的“对应点”，为点P的“对应三角形”
(1)已知点P的“对应点”为点C，
①若点P的坐标为，则点C的坐标为           ；
②若点C的坐标为，则点P的坐标为           ；
(2)已知点，过点P作x轴的垂线l，当直线l恰好将点Р的“对应三角形”的面积分成两个相等的部分时，求m，n满足的数量关系；
(3)已知点，且满足为定值，点C为点P的“对应点”，若的最大值为2，直接写出k的值．

10 . 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
如图①-②，D为等腰的斜边所在直线上的一个动点，连接，把绕着点C 逆时针旋转到的位置．同学们通过观察，发现了以下结论∶①；②；③如图②，若，四边形 的面积为         ，④、、的数量关系是          ；

   

(2)类比迁移
如图④-⑥，D为等腰的直角边所在直线上的一个动点，连接，把绕着点 D 逆时针旋转到的位置，连接．请你类比问题（1）中的结论，选用图④、图⑤、图⑥中的任意一个图形完成下列问题：
①求 的值；
②试探究、、的数量关系，并证明你的结论；

   

(3)拓展应用
若，当点D在直线上运动至时，请直接写出的长和以A、B、D、E 为顶点的四边形的面积．