1 . 已知是等腰直角三角形，，，点D在线段上运动．

(1)如图1，连接，过点C作交的延长线于点E．过点A作交于点F，若，，求的长；
(2)如图2，点H是边上一点，连接，过点A作交延长线于点G．若，将绕点D顺时针旋转得到线段，交于点K，连接，过点C作交于点N，垂足为P．求证：；
(3)如图3，若，连接并将绕点D逆时针旋转得到线段，连接、，取中点T，点R在上且，连接，直接写出当取得最小值时的面积．

2 . 问题初探
（1）在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题：
如图①，在中，高，交于点F，且，试说明，有怎样的数量关系．
小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证，从而得出．
小明证明的依据可能是__________（填序号）．
   
①       ②       ③       ④
引导发现
（2）老师看同学们的兴致很高，又出了一道题：
如图②，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上．
   
填空：______°；
判断线段与的数量关系，并写出证明过程．
拓展延伸
（3）中，，，如图③，点D在线段上，于点E，交于点F，且，请直接写出和的数量关系．

   

3 . 如图，中，在平面内将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点D作，分别交、于点E、F，连接．

(1)如图1，若，．求的长度．
(2)如图2，若，求证：．
(3)如图3，在（2）问的条件下，若，点P在射线上运动，当取得最小值为时，在平面内将绕点B逆时针旋转度得到，当点恰好在线段上时，请直接写出的面积的值．

4 . 在中，点分别在射线和上，连接和相交于点．

(1)如图1，当时，求证：．
(2)如图2，当，但时，（1）中结论还成立吗？请说明理由．
(3)如图3，，直接写出的长．

5 . 的所对边分别是a，b，c，若满足，则称为类勾股三角形，边c称为该三角形的勾股边．

【特例感知】如图1，若是类勾股三角形，为勾股边，且，是中线，求的长；
【深入探究】如图2，是的中线，若是以为勾股边的类勾股三角形，①分别过A，B作的垂线，垂足分别为E，F，求证
②试判断与的数量关系并证明；
【结论应用】如图3，在四边形中，与都是以为勾股边的类勾股三角形，M，N分别为的中点，求线段的长．

6 . 如图，在中，为锐角，点是的中点，直线经过点且在右侧．点关于直线的对称点为点，．连接交线段于点，连接．
   
(1)求证：；
(2)若，探究线段的数量关系；
(3)在直线绕点旋转的过程中，是否存在的情形？若存在，求此时的度数；若不存在，请说明理由．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，且与直线交于点B，点C在，点E在直线上且位于点B的右侧．

(1)求k的值及点B的坐标；
(2)若在直线上存在点D，使得，求点D坐标；
(3)若射线上存在点P，直线上存在点Q，使得点C、P、Q三点构成的为等腰直角三角形，求出点P的坐标．

8 . 已知，实数m，n，t满足．

(1)求m，n，t的值；
(2)如图，在平面直角坐标系中，A，B都是y轴正半轴上的点，C，D都是x轴正半轴上的点（点D在C右边），，．
①如图（1），若点A与B重合，，求B点的坐标；
②如图（2），若点A与B不重合，，，直接写出的面积．

9 . 在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m．

(1)直接写出b，c的值；
(2)如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l的右侧时，连接PA，过点P作，交直线l于点D．若，求m的值；
(3)过点P作x轴的平行线与直线BC交于点Q，线段PQ的长记为d．
①求d关于m的函数解析式；
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．

10 . 如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴正半轴上一动点.

(1)求证：轴是线段的垂直平分线；
(2)以为边作等边，点在第一象限，作射线交轴于点，设；
若，求的度数(用含有的式子表示)；
探究线段与的数量关系，并证明．