1 . 如图，正方形和正方形的点、、在同一条直线上，点为的中点，连结、、，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段的长．（       ）

A．

B．

C．

D．

2 . 如图，在中，．

   

(1)如图1，若是边上的一点，点为线段的中点，连接，于，，，求的长度．
(2)如图2，H为线段上一点，连接，E为的中点，连接并延长交于，再连接，若，求证：．
(3)如图3，若，，为的角平分线，将沿翻折后得到，再将绕点逆时针方向旋转角度，当线段所在直线分别与和所在的直线夹角为时，线段所在的直线与所在的直线形成的锐角度数为，线段所在的直线与所在的直线形成的锐角度数为，请直接写出的值．

3 . 如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿DE翻折，使点的对应点恰好落在角平分线CH上，连接并延长交BC于点，若，则点到AB的距离为（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 如图，在与中，三点在一条直线上，，，，若，，则的值为（       ）

   

A．

B．

C．

D．

5 . 如图1，正方形中，点P在边上，连接，点M在边上，连接，且；

(1)求证：；
(2)如图2，延长到点Q，使，作，且，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点E，若点E是中点，，求的长.

6 . 学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究．她发现：过菱形的一个钝角的顶点分别与两条对边上的点作线段，若这两条线段所夹的角与菱形的另一个钝角互补时，则这两条线段相等．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为点H．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形是菱形，过A作于点G，作于点H，点E、F分别是边上一点，连接，且满足．求证：．

证明：∵，
∵，
∴，
∵
∴①________________________
∴，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴②______________________________．
∴在和中
，
∴，
∴．
小莉再进一步研究发现，过菱形的一个钝角的顶点分别与两条对边上的点作线段均有此特征．请你依照题意完成下面的命题：过菱形的一个钝角的顶点分别与两条对边上的点作线段，则这两条线段：④__________________________．

7 . 如图，菱形中，于点E，点F在上，于点H，分别交、于点G、点P．

   

(1)求证：；
(2)若．求证：；
(3)若，且，，求菱形的边长．

8 . 如图，为等边三角形，，于点，点在线段上运动，当点不与点重合时，过点作的垂线交折线于点，交边于点F，以、为边作矩形，设线段的长为．

(1)线段的长为______；
(2)当点在线段上时，用含的代数式表示线段的长，并直接写出的取值范围；
(3)作点关于直线的对称点，作直线.
当点在边上时，若，求线段的长；
当直线将矩形分成两部分图形的面积比为时，直接写出的值．

9 . 如图，，于点M，D在上，E在上，．

(1)若，，求证：；
(2)作于点N，点F是一点，且，
①求证：；
②求的值．

10 . 学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现．连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：

(1)用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点（只保留作图痕迹）
(2)已知：在四边形中，，为中点，为中点
猜想：，且．
证明：是中点，①______
，
在和中
，

，
在中，是中点，是中点
且③______．


请你根据该探究过程完成下面命题：
连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④______．