1 . 在平面直角坐标系中，对于点，，令，，将称为点A与点B的特征值．对于图形M和图形N，若点A为图形M上的任意一点，点B为图形N上的任意一点，且点A与点B的特征值存在最大值，则将该最大值称为图形M与图形N的特征值．

(1)已知点，．
①点A与点B的特征值为______；
②已知点C在y轴上，若点A与点C的特征值为5，则点C的坐标为______；
(2)已知点，，将线段以每秒1个单位的速度向左平移，经过秒后得到线段．
①已知点，，求点F与线段的特征值h的取值范围；
②已知面积为2的正方形的对角线交点为，且该正方形至少有一条边与坐标轴平行，记该正方形与线段的特征值为k，则k的最小值为________；当时，t的取值范围为________．

2 . 如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转得到射线，射线与直线的交点为点．在直线上截取（点在点右侧），将直线绕点顺时针旋转所得直线交直线于点．

(1)如图1，当点与点重合时，补全图形并求此时的度数；
(2)当点不与点重合时，依题意补全图2，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

3 . 在中，，，于点D，点E，F分别在上，且，交于点N．

(1)如图1，当点E与点A重合时，______；
(2)如图2，当点E在边上时，
①依题意补全图2；
②的值是否发生变化，请说明理由．

4 . 如图1，在正方形中，、分别在上，连接，过点作于点，交于点、且点为线段的中点．

(1)①若，求．
②求证：；
(2)如图2，若点在正方形内，点在正方形外，且，其余条件不变，则还成立吗？说明理由．

5 . 我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形．

(1)下列图形：①有一个内角为的平行四边形；②矩形；③菱形；
④直角梯形，其中对角直角四边形是      （只填序号）；
(2)如图，菱形的对角线，相交于点，在菱形的外部以为斜边作等腰直角，连接．
①求证：四边形是对角直角四边形；
②若点到的距离是2，求四边形的面积．

6 . 如图，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点，在上取点，使得，连接．
设，给出下面三个结论：
①；
②；
③．
上述结论中，所有正确结论的序号是（       ）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

7 . 在查阅勾股定理证明方法的过程中，小明看到一种利用“等积变形一同底等高的两个平行四边形的面积相等”证明勾股定理的方法，并尝试按自己的理解将这种方法介绍给同学．

(1)根据信息将以下小明的证明思路补充完整：
①如图1，在中，，四边形，四边形，四边形都是正方形．延长交于点M，过点C作交的延长线于点N，可得四边形的形状是_________；
②在图1中利用“等积变形”可得_________；
③如图2，将图1中的四边形沿直线向下平移的长度，得到四边形，即四边形；
④设交于点T，延长交于点H，在图2中再次利用“等积变形”可得_________，则有_________．
⑤同理可证，因此得到，进而证明了勾股定理．
(2)小芳阅读完小明的证明思路后，对其中的第③步提出了疑问，请将以下小明对小芳的说明补充完整：图1中__________________，则有_________，由于平行四边形的对边相等，从而四边形沿直线向下平移的长度，得到四边形．

8 . 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的点，给出如下定义：取点与点，以为直角边作等腰，使，且点C与点P在同一象限内，则称点C为点P的“对应点”，为点P的“对应三角形”
(1)已知点P的“对应点”为点C，
①若点P的坐标为，则点C的坐标为           ；
②若点C的坐标为，则点P的坐标为           ；
(2)已知点，过点P作x轴的垂线l，当直线l恰好将点Р的“对应三角形”的面积分成两个相等的部分时，求m，n满足的数量关系；
(3)已知点，且满足为定值，点C为点P的“对应点”，若的最大值为2，直接写出k的值．

9 . 我们知道等腰三角形的“三线合一”定理，即：等腰三角形（前提）的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
我们也可以逆用“三线合一”定理，证明这个三角形是等腰三角形，即：在三角形中，则这个三角形是等腰三角形（结论）．
选择下面一种情况，完成证明．

情况一	情况二	情况三
已知：如图，在中，平分，D是BC的中点，	已知：如图，在中，，于D	已知：如图，在中，于，AD平分

选择情况：_____________．
证明：

10 . 【建立模型】

如图①，在中，，，直线l经过点A，过点B作，垂足为点D，过点C作，垂足为点E，可以得到结论：．
（1）请证明；
【运用模型】

（2）如图②，在平面直角坐标系中，，，，，则点C的坐标是        ；
（3）如图③，在平面直角坐标系中，，，在第一象限内有一点P，使是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．