1 . 中，点D是边中点，过点D的直线交边于点M，交边的延长线于点N，且．

(1)如图①，当时，求证：；
(2)如图②，当时，请直接写出线段的数量关系．

2 . 综合与实践
问题情境
数学综合实践课上老师和同学们一起进行折纸，通过折叠探究其中的数学奥妙．
操作发现
（1）实践小组按照如图1所示的方式，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点，则的形状是______，若，，则______；
继续探究
（2）勤学小组按照如图2所示的方式，将矩形纸片分别沿折叠，点，的对应点为点，使落在对角线上，且两点恰好重合．
①请判断四边形的形状，并说明理由；
②若，求的长．
深入探究
（3）博学小组按照如图3所示的方式，首先将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，然后把纸片展开；将纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕交于点，交于点，延长交的延长线于点，然后展开纸片，若，，则______．

3 . 如图，在平行四边形中，，求证：

4 . 将绕点旋转一定的角度后使点落在点处，点在落在点处，且、、在同一直线上，、交于点，、交于点，、交于点，连接、则下列结论错误的是（       ）

A．	B．
C．	D．

5 . 如图，四边形是边长为a的正方形，点分别是正方形的边的延长线上的点，连接和，且，则下列结论：①；②点A到所在的直线的距离等于a；③若连接，则；④若，则；正确的结论有_______（只填写序号即可）．

6 . 已知，在中，，，以为边向下作一个且，连接．

(1)如图1，若，当时，求线段的长度；；
(2)如图2，若点E是线段的中点，连接，猜想线段，，之间的数量关系，并给出证明；
(3)在（2）的条件下，当取得最小值时，请直接写出的值．

7 . 如图，等腰直角中，，将线段绕点C逆时针旋转（）得到线段，作点A关于线段所在直线的对称点E，连接和，分别交线段所在直线于点M和点F，若，，则的长为______．

8 . 如图，正方形的对角线，相交于点，是边上一点，连，过点作，交于点，连接．若正方形边长为1，下列结论：
①；②；③；④始终是等腰直角三角形；⑤周长的最小值为，面积的最小值为．其中正确的为（       ）

A．①②④

B．①②③④

C．①②④⑤

D．①②③④⑤

9 . 已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：

①；
②；
③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；
④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．
其中，所有正确结论的个数是（     ）

A．

B．

C．

D．

10 . 在等腰直角中，，点D在边上，过点B作射线的垂线，垂足为点E．

   

(1)如图1，过点C作射线的垂线，垂足为点F，求证∶；
(2)在射线上取点G，使，连接与交于点H．
i)如图2，若，求线段的长；
ii)若，求的值．