1 . 如图，中，．
   
(1)作的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，点D在上且与点C位于异侧，连接并延长交的垂直平分线于点E，过点E作交延长线于点．
①求证：；
②若，求的值．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，顶点，在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，，垂足是D，交于点E，，．请解答下列问题：

(1)求点B、点C的坐标；
(2)求线段的长；
(3)连接．若，在坐标轴上是否存在点F，使？若存在，请直接写出点F的个数和其中一个点F的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，点，点，，，．

(1)当时，若直接写出的坐标；
(2)如图，是轴上一点，连接（与线段相交），分别过点作的垂线，垂足分别为点，请证明：；
(3)如图，在（）的条件下，当时，取点关于的对称点，连接，判断与的关系并证明．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，交x轴于点C．

(1)求证：；
(2)如图2，，求证：；
(3)如图3，延长交y轴于点，点N为x轴上一点，，求的度数（用含的式子表示）．

5 . 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在坐标轴上，两点坐标分别为和且，顶点在第一象限，连接，现将矩形沿折叠，点落在点处，抛物线经过点．

(1)点坐标为______；点坐标为______均用含的式子表示；
(2)若抛物线还经过点，求与之间的关系式并写出的取值范围；
(3)如图2，当时，作抛物线关于其顶点的中心对称的抛物线，由，这两条抛物线所组成的图象记为，设的中点为，直接写出当图象与线段有公共点时，的取值范围．

6 . 点为正方形的对角线上一点．连接，并延长交于点，交于，下列结论：①；②时，平分；③；④．其中正确的有：______（填写所有正确选项的序号）．

7 . 在矩形中，E是上一个动点，连接

(1)如图1，若，，，求的长；
(2)如图2，点P是中点，将直线绕点P顺时针旋转后，恰好经过点B，交于点F，连接，若．求证：．
(3)如图3，若点P是上一点，直线绕P点顺时针旋转90°，恰好经过点D．若，，连接，请直接写出的最小值．

8 . 如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为．

(1)求此抛物线的解析式及点的坐标；
(2)若是轴负半轴上的一点，且，若把点以点为中心顺时针旋转时恰好与该拋物线上的点重合，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，连接，若在该抛物线上有一点使得，则这个点的坐标是       （直接填写结果，不需要写解答过程）．

9 . 【综合与实践】
问题情境：
如图1，在中，，为钝角，点D是的中点，于点E，于点F．试判断线段与的数量关系，并说明理由．

探究展示：
小宇同学展示出如下正确的解法：
解：     1     （填写和的数量关系），理由如下：
点D是的中点，
是边上中线，
，
是的角平分线．（ 2     ）（填写结论依据）
，，
．
反思交流：
(1)完成上面解题过程的两个填空：①：____________________；②____________________；
(2)利用上述结论请继续探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，在图1的条件下，点M是射线上一点，作，射线交线段于点N，求线段、和之间的数量关系，并说明理由．

10 . 如图，在中，，，．

(1)如图1，求的长；
(2)如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明；
(3)如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于时，求的值．