1 . 综合与实践
如图，在矩形中，点E是边AD上的一点（点E不与点A，点D重合），连结BE．过点C作交AD的延长线于点F，过点B作交FC的延长线于点G，过点F作交BE的延长线于点H．点P是线段CF上的一点，且．
探究发现：（1）点点发现结论：．请判断点点发现的结论是否正确，并说明理由．
深入探究：（2）老师请学生经过思考，提出新的问题，请你来解答．
①“运河小组”提出问题：如图1，若点P，点D，点H在同一条直线上，，，求的长．
②“武林小组”提出问题：如图2，连结和，若，，，求的值．

   

2 . 如图，直线l：与y轴，x轴分别交于点A，B，经过点A，B的抛物线：交x轴于另一点C，点E为线段上一动点，直线交于点F．

(1)求b，c的值；
(2)若点E恰为线段的中点时，求F点的坐标；
(3)在（2）的条件下，抛物线上有一动点，过点P作y轴的平行线交直线l和直线分别于点M，N，设．
①求r关于m的函数关系式；
②求满足r为整数的点P的个数．

3 . 如图1，一矩形纸片，，，点P是边上的动点（不与端点重合），把沿折叠，点A落在点E处，连接，设，．

(1)求的度数（用含的式子表示）；
(2)当P，E，C三点在一条直线上时，如图2所示，求证：，并求此时m的值；
(3)当的面积为4时，求m的值；
(4)连接，若是等腰三角形，直接写出符合条件的m值的个数和其中一种情况下m的值．

4 . 如图，在中，，，，于H，点E为线段AH上的一个动点，过点E作交于点F，连结．若的长为x，的面积为S．

(1)求S关于x的函数关系式．
(2)当四边形为平行四边形时，求S的值．
(3)若点B关于E的对称点为，当点落在的内部（包含边界）时，则S的取值范围为______．（直接写出答案）

5 . 根据所给素材，完成相应任务．

玩转三角板
活动背景	在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1所示，其中，为直角，，，要求两直角顶点重合（A与F重合于点O）进行探究活动．
素材1	小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上．
素材2	小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形．
素材3	李老师提出问题，在上述操作过程中，与的面积比是否为定值？
解决问题
任务1	（1）根据图2，计算线段的长度．
任务2	（2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据：___________． （3）计算的面积．
任务3	（4）请你解答李老师的问题，并说明理由．

6 . 一次函数的图象过点，，与轴交于点，在平面内找到点，使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，则点的坐标为________．

7 . 【阅读材料】
【解答问题】请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由．

老师的问题： 如图，在中，点在上，连接，只用一把无刻度的直尺，求作四边形，使得四边形是平行四边形．

小明的作法： （）连接，，相交于点； （）连接并延长，交于点； （）连接．四边形即为所求．

8 . 如图，在菱形中，，过点分别作于点，于点，且．

(1)写出之间的数量关系；
(2)如图，当绕着点逆时针旋转到的两边与菱形的两边相交，但不垂直时，写出三者之间的关系，证明你的结论；
(3)如图，当绕着点逆时针旋转到的两边与菱形的两边的延长线相交，但不垂直时，请直接写出三者之间的关系．

9 . 【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，正方形中，E在对角线上，连接，作 交于点 F，求证：．
①如图2，小明同学利用正方形的对称性，给出如下解题思路：连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．
②如图3，小龙同学根据正方形的对角线有关性质，给出另一种解题思路：过E作 于G， 于H，构造全等三角形．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学或转化线段或构造全等三角形，都是利用正方形的相关性质，为了帮助同学们更好地掌握正方形的性质，李老师在图l 中添加条件，并提出下面的问题，请你解答．
如图4，（1）中的条件不变，作 交CD于P，连接，求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在正方形中，将线段绕点A 逆时针旋转得到线段连接，，，当 时，求证：．

10 . 已知平分，点、、分别是射线、、上的点（点、、都不与点重合），且，联结交射线于点．

(1)如图1，当时，试说明的理由：
(2)在（1）的条件下，作的平分线交射线于，交射线于点，试说明的理由；
(3)当且是等腰三角形时，请直接写出的度数．