1 . 综合与实践
如图，在矩形中，点E是边AD上的一点（点E不与点A，点D重合），连结BE．过点C作交AD的延长线于点F，过点B作交FC的延长线于点G，过点F作交BE的延长线于点H．点P是线段CF上的一点，且．
探究发现：（1）点点发现结论：．请判断点点发现的结论是否正确，并说明理由．
深入探究：（2）老师请学生经过思考，提出新的问题，请你来解答．
①“运河小组”提出问题：如图1，若点P，点D，点H在同一条直线上，，，求的长．
②“武林小组”提出问题：如图2，连结和，若，，，求的值．

   

2 . 如图，在中，，，，于H，点E为线段AH上的一个动点，过点E作交于点F，连结．若的长为x，的面积为S．

(1)求S关于x的函数关系式．
(2)当四边形为平行四边形时，求S的值．
(3)若点B关于E的对称点为，当点落在的内部（包含边界）时，则S的取值范围为______．（直接写出答案）

3 . 根据所给素材，完成相应任务．

玩转三角板
活动背景	在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1所示，其中，为直角，，，要求两直角顶点重合（A与F重合于点O）进行探究活动．
素材1	小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上．
素材2	小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形．
素材3	李老师提出问题，在上述操作过程中，与的面积比是否为定值？
解决问题
任务1	（1）根据图2，计算线段的长度．
任务2	（2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据：___________． （3）计算的面积．
任务3	（4）请你解答李老师的问题，并说明理由．

4 . 如图1，四边形内接于圆O，对角线与交于点E，连结并延长交于点F，平分，连接，与交于点G，E为中点．

(1)求证：．
(2)若，求．
(3)如图2，在（2）的条件下，作，垂足为M，求的值．

5 . 综合与实践
【问题情境】如图，在四边形中，点P是线段上一点，，．
【问题情境】如图1，当时，猜想，，三条线段存在的数量关系并证明．
【问题情境】如图2，延长，交于点E，当时，时，求的值．
【问题情境】如图2，延长，交于点E，当时，时，用含的代数式表示的值．

6 . 【背景】如图（1），点E，F分别是正方形的边的中点，与相交于点P，连接．同学们在研究图形时，作交CE于点H，发现：．他们通过作三角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段相等的线段，得到了多种方法证明成立．
【猜想】（1）若把正方形改成平行四边形，其余条件不变，如图（2），结论是否还成立？请说明理由．
【延伸】（2）在图（2）的条件下连接，那么四边形的面积和的面积有什么关系？请说明理由．

7 . 如图，正方形和正方形的点、、在同一条直线上，点为的中点，连结、、，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段的长．（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 如图1，已知锐角内接于，P为的内心，连结并延长分别交，于点D，E，连结．

(1)求证：．
(2)若，试求的值．
(3)若将条件“锐角内接于”改为“内接于，为直径”，如图2．过点P作于点F，设的外接圆半径为R，，试问的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

9 . 综合与实践

【模型探究】
（1）如图1，在中，点O为边的中点，作射线于点M，于点N．求证：．
【尝试建构】
（2）如图2，在中，点O为边的中点，点P在边上（不与点B，C，O重合），作射线于点M，于点N．连接．猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
【迁移应用】
（3）如图3，在中，点D，E在边上，，作射线于点M，于点N．连接．若，，求的值．

10 . 已知：如图，点在边上（不与点，点重合），在边上（不与点，点重合），连接，，与相交于点，，．
有以下四个结论：
①；
②；
③；
④．

(1)以上四个结论中正确的是      ．（只需填写序号）
(2)请从（1）中任选一个结论进行证明．