1 . 已知平分，点、、分别是射线、、上的点（点、、都不与点重合），且，联结交射线于点．

(1)如图1，当时，试说明的理由：
(2)在（1）的条件下，作的平分线交射线于，交射线于点，试说明的理由；
(3)当且是等腰三角形时，请直接写出的度数．

2 . 常见的辅助线的添设方法最主要的是构造全等三角形，构造两条边之间的相等，两个角之间的相等．在这里，向大家介绍一种方法，请仔细阅读材料，回答问题：
遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．
请用“旋转”法解决下面两题：

(1)如图1，在正方形中，为上的一点，为上的一点，，求的度数；
(2)如图2，为等腰斜边的中点，，、分别交、于点、．
①当绕点转动时，求证；
②若，求四边形的面积．

3 . 在中，，点为直线上不同于点的一点，，点在边上，，直线交射线于点．

   

(1)当点在边上时，如图所示．
①求证：；
②如果平分，求的值；
(2)如果，，求线段的长．

4 . 在矩形中，，点E在边上，点F在边上，联结、、，，以下两个结论：①；②．其中判断正确的是（       ）

A．①②都正确	B．①②都错误；
C．①正确，②错误	D．①错误，②正确

5 . 如图，已知在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在第二象限内，，且．

   

(1)求点的坐标；
(2)将沿轴向右平移，点、、的对应点分别是点、、，如果点、都落在双曲线上，求的值；
(3)如果直线与第（2）小题中的双曲线有两个公共点和，求的值．

6 . 在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴正半轴上的点与y轴正半轴上的点，如果坐标平面内存在一点N，使得，且，那么称点N为M关于P的“垂转点”．例如图1，已知点和点，以为腰作等腰直角三角形，可以得到M关于P的其中一个垂转点．如图2，如果关于y轴上一点P的垂转点N在一次函数的图象上，那么垂转点N的坐标为________．

7 . 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的点，给出如下定义：取点与点，以为直角边作等腰，使，且点C与点P在同一象限内，则称点C为点P的“对应点”，为点P的“对应三角形”
(1)已知点P的“对应点”为点C，
①若点P的坐标为，则点C的坐标为           ；
②若点C的坐标为，则点P的坐标为           ；
(2)已知点，过点P作x轴的垂线l，当直线l恰好将点Р的“对应三角形”的面积分成两个相等的部分时，求m，n满足的数量关系；
(3)已知点，且满足为定值，点C为点P的“对应点”，若的最大值为2，直接写出k的值．

8 . 综合与实践
【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形中，E是对角线上一动点，过点D作的垂线，过点C作的垂线，两垂线相交于点F，作射线，分别交边，于点G，H．试探究线段与的数量关系．
小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下．
【观察猜想】
小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究．
（1）如图1，若E是对角线的中点，则线段与的数量关系为______．
【推理验证】
（2）小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图2的情形判断他的说法是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）已知正方形的边长为3，以点E为线段的三等分点时，请直接写出线段的长．

          

9 . 在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，B为x轴正半轴上一点，且，连接．

   

(1)如图1，C为线段上一点，连接，将绕点O逆时针旋转得到，连接，求的值．
(2)如图2，当点C在x轴上，点D位于第二象限时，，且，E为的中点，连接，试探究线段是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．

10 . 综合与实践

数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，E，F分别是上的两点，连接交于点P．     已知，求证：． 甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得．

完成任务：
（1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”）
【发现问题】
同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．

   

【迁移探究】
在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．
甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．
甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立．
（2）①在图2中，已知，求证：；
②在图3中，若，则的度数为________．
【拓展应用】
（3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长．