1 . 在四边形中，对角线，和交于点，，．

(1)如图，若，求证；．
(2)若交于点，．
①如图，求的值；
②如图，若，求证：．

2 . 如图，已知点为正方形内一点，点，分别在，边上，且，，连接，，若，．

   

（1）的最小值为________；
（2）在（1）的条件下，四边形的面积为________．

3 . 如图1，在中，，，点是边的中点，点在边上，连接并延长到点，使．

(1)求证：；
(2)如图2，点是边的中点，连接，，平分交于点，若，求证：．

4 . 如图，，于点M，D在上，E在上，．

(1)若，，求证：；
(2)作于点N，点F是一点，且，
①求证：；
②求的值．

5 . 在中，，，点和点分别是和上的点，连接，，．

(1)如图1，若，求证：；
(2)若于点．
（ⅰ）如图2，求证：；
（ⅱ）如图3，若，，求的值．

6 . 已知，矩形是矩形绕点C旋转得到的，且点G落在边上．

(1)如图1，连接，求证：平分；
(2)如图2，在（1）的条件下连接交于点H，求证：H是的中点；
(3)如图3，在旋转的过程中，若C，D，F三点共线，，求的值．

7 . 如图，四边形是正方形，已知，点是正方形内部一点，连接、，点在线段上，连接、，若，且，，完成下列问题：
（1）__；
（2）若在正方形的边上找一点，使，这样的点有 __个．

8 . 在中，，平分交于点E，过点B作于点D．

   

(1)如图1，当时，
①求的度数；
②探究线段与的数量关系，并加以证明；
(2)如图2，当时，求的值．

9 . 如图①，过山车是一种机动游乐设施，常见于游乐园中，深受年轻游客的喜爱．如图②，过山车的轨道近似看成，轨道的支撑架AB，CD均与地面BC垂直，且与相切，点E为CD上一点，连接AE交于点F，连接DF并延长BC交于点G．已知．
   
(1)求证：；
(2)若，的半径为3，求的长．

10 . 在中，为边上一动点，且交边于点．探究：

(1)如图1，若，当时，求的长．
延伸：如图2，若为上一点，且．
(2)小东经过研究发现：“当点在边上运动时，的长度不变，是个定值．”你认为小东的结论是否正确，如果正确，请求出这个定值；如不正确，说明理由．
(3)若，求的值．