1 . 一次函数的图象过点，，与轴交于点，在平面内找到点，使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，则点的坐标为________．

2 . 【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，正方形中，E在对角线上，连接，作 交于点 F，求证：．
①如图2，小明同学利用正方形的对称性，给出如下解题思路：连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．
②如图3，小龙同学根据正方形的对角线有关性质，给出另一种解题思路：过E作 于G， 于H，构造全等三角形．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学或转化线段或构造全等三角形，都是利用正方形的相关性质，为了帮助同学们更好地掌握正方形的性质，李老师在图l 中添加条件，并提出下面的问题，请你解答．
如图4，（1）中的条件不变，作 交CD于P，连接，求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在正方形中，将线段绕点A 逆时针旋转得到线段连接，，，当 时，求证：．

3 . 数学实践课上，老师组织同学们开展以“图形的旋转”为主题的探究活动，已知为等腰直角三角形，过点A的直线，射线绕点B旋转交于点M，过点M作，交直线于点N，探究线段和有怎样的数量关系？
(1)特例初探：
如图1，当时，点N与点A重合，猜想线段和间的数量关系，并证明你的结论；

   

(2)规律探究：
如图2所示，当与不垂直时，（1）的结论是否仍然成立？请猜想并证明你的结论；

   

(3)拓展应用：
已知：中，，过点O，E分别作，，垂足分别为O，E，与交于点F，连接，若，．
求：的面积．

   

4 . 【问题情境】
（1）某数学活动小组在研究“平方差公式的几何意义”时，提供了如下思路：
如图1，在中，，D为中点，，垂足为E．设，，根据勾股定理，在中用含a，b的式子表示；借助，用含a，b的式子再次表示，建立等式，得到．
请根据上述思路，完成平方差公式的推理过程．

   

【拓展迁移】
（2）如图2，在中，点D在边上，，延长到点E，使，过点E作，垂足为F，延长到点G，使．
①求证；
②如图3，若，，求的值．

   

5 . 【提出问题】
是等边三角形，点为边上一点（不与点重合），过点作垂足为的平分线交于点，连接，取的中点，连接，探究的形状．
【特例感知】
（1）如图，当点与点重合时，______°，______°；
（2）如图，当点为边中点时，小丽以为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设点的坐标为．小丽想先求出点和点的坐标，再利用两点间距离公式计算出三边的长度进而确定的形状，请直接写出点和点的坐标，并按照小丽的思路求出和的度数．（之间的距离为）
【问题解决】
（3）如图，当点为边上不与端点重合的任意一点时．
求证：．

6 . 【问题情境】如图，在中，点D在上，且，过点A作于点E，交于点F．数学王老师提出，各小组同学独立思考，合作交流，在以上条件的基础上，可再适当添加边、角条件，从而得到一些边、角关系的结论．

【数学探究】
(1)“智慧小组”提出，无需添加任何条件，与两角之间已存在某种确定的数量关系．设，请用含的代数式表示；
(2)“善思小组”提出，添加的条件，可得到和两线段之间存在某种确定的数量关系．请写出和的数量关系，并说明理由；
(3)“梦想小组”提出，在（2）的条件下，添加的条件，如果再给出图中任意一条线段的长度，可求得图中其余线段的长度．若，求的长．

7 . 【模型建立】
（1） 人教版八年级下册数学课本第 62 页第 15 题如下：
如图 1， 四边形 是正方形， 点 G 为 上的任意一点， 于点 E，   交于 F． 求证：

【模型应用】
（2）如图 2， 在等腰 中， ，， 点 D 在 上， 且，连接， 过点 B 作 交于点 E， 垂足为 F，探究 与之间的数量关系；
【深度探究】
（3） 在中（如备用图）， ，， 点 D 是射线上一点，，， 连接， 过点 B 作于点 F， 补全图形， 并求的长．

8 . 【问题初探】
数学课上，老师提出如下问题：
如图①，是 的中线， M 是的中点，的延长线交于N，求证： ．

经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路：
甲同学的思路：如图②，过点D作，于点K，利用全等将与的数量关系转化为与之间的关系；
乙同学的思路：如图③，过点A作的平行线交的延长线于点K，利用相似将与的数量关系转化为与之间的关系．
（1） 请你选择一名同学的思路，写出证明过程；
（2） 【类比分析】
老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出：如图④， 在 中，是边上的中线， N， K是的三等分点，交于M，交于P，求的值．请你写出解答过程；
（3）【学以致用】
在 中，，在直线上取点B，使连接，在线段上取点A，连接， 直线交直线于F， 当时， 求的值．请你写出解答过程；

9 . 如图，已知直线，直线l与、分别交于点A、点C．

(1)如图1，点E在线段上，连接、．求证：；
(2)如图2，点E在线段的延长线上，连接，过点B作，试画出图形并直接写出与的数量关系；
(3)如图3，点E在、之间且平分，，以点E为圆心，为半径画弧，交于点K，若，求的度数．

10 . 我们知道，角的平分线有很多特殊的性质.例如：

(1)如图①，已知是的平分线，点A是上一点，若，则可以得到，请说明理由；
(2)发现规律：连结，则是等腰三角形．如图②，在等腰三角形底边的另一侧存在一点D，当时，请直接写出与的数量关系．
(3)请解决下列问题：如图③，等腰中，，D是外一点，，且，求证：．